1、2.1.2函数的表示方法学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数(重点)2.了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值(重点、难点)通过学习本节内容进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.1函数的表示方法2分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式像这样的函数，通常叫做分段函数(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画
2、出各段函数图象1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示()(2)任何一个函数都可以用解析法表示()(3)有些函数能用三种方法来表示()答案(1)(2)(3)2若函数f(x)则f(x)的定义域为_，值域为_x|x0y|y1定义域为x|x0或x0时，f(x)0，当x1，值域为y|y13某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数yf(x)解列表法：笔记本数x12345钱数y510152025解析法：y5x，x1,2,3,4,5图象法：求函数解析式【例1】求下列函数的解析式(1)已知f(x)为一次函数，f(2x
3、1)f(2x1)4x6，则f(x)_.(2)已知f(1)x2，则f(x)_.(3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x)4x1，则f(x)_.(4)设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则f(x)的解析式为_(5)若f x2，则f(x)_.思路点拨：(1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解(2)可以把1看作一个整体来求解(5)可以把x看作一个整体来求解(1)x3(2)x21(x1)(3)2x或2x1(4)f(x)(5)x24(1)设f(x)axb(a0)，f(2x1)a(2x1)b，f(2x1)a(2x1)b，f(2x1)f(2x1)4ax2b4x6，所以解得即函数f(x
4、)的解析式为f(x)x3.(2)法一：令1t(t1)，则t1，x(t1)2，f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)法二：f(1)x2(1)21，f(x)x21(x1)(3)设所求函数f(x)kxb(k0)，所以f(f(x)f(kxb)k(kxb)bk2xkbb4x1，则解得或所以f(x)2x或f(x)2x1.(4)由题意得解得故f(x)(5)f x24，f(x)x24.求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可.(2)换元法：令tg(x)，
5、注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围.(3)配凑法：已知f(g(x)的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x)的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可.(4)代入法：已知yf(x)的解析式求yf(g(x)的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换yf(x)中的x.1(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)3，f(1)3，则f(x)_.(2)若f，则f(x)_.(1)x(2)x2x1(x1)(1)设f(x)k1x，则f(x)x.(2)令t(t1)，
6、则x，f(t)(t1)t2t1，f(x)x2x1(x1)分段函数【例2】已知函数f(x)试求f(5)，f()，f 的值思路点拨：要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中解由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.因为f1，22不合题意，舍去当2am(m2或m2)，求实数m的取值范围解若f(m)m，即或即m2或所以m2或m2.所以m的取值范围是(，22，)1分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值2已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上
7、的函数值的范围，确定解析式再求解3求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集方程组法求解析式探究问题1解二元一次方程组的主导思想是什么？提示主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种2解方程组：提示法一(代入消元法)：由得AB6，代入得B6B4，B1，代入AB6，得A5，A5，B1.法二(加减消元法)：得2A10，A5，得2B2，B1.3探究2中，每个等式右边如果是代数式，如能求A，B吗？提示能求A，B.仍可以采用上述两种方法两式相加得2Ax24x，A，两式相减得2Bx24x，B.【例3】求解析式(1)已知f(x
8、)2f(x)，求f(x)；(2)已知2f(x)f 3x，求f(x)思路点拨：将f(x)与f(x)，f(x)与f 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f(x)解(1)f(x)2f(x)，用x替换x得f(x)2f(x)，2得3f(x)，f(x).(2)2f(x)f 3x，用替换x得2f f(x)，消去f 得3f(x)6x，f(x)2x.方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(x)，f(x)的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可在构造对称方程时，一般用或x替换原式中的x即可2已知f(x)满足f(x)2f x，则f(x)
9、的解析式为_f(x)因为f(x)2f x，用替换x得f 2f(x)，代入上式得f(x)2x，解得f(x).1函数三种表示法的优缺点2描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线3求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等1小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()C先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.2已知函数f(3x1)x23x2，则f(10)_.20令3x110，x3，代入得f(10)3233220.3已知f(x)是一次函数，2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1，则f(x)_.3x2设f(x)kxb(k0)，2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1，f(x)3x2.4已知函数f(x)(1)求f(2)，f(f(2)的值；(2)若f(x0)8，求x0的值解(1)0x2时，f(x)x24，f(2)2240，f(f(2)f(0)0244.(2)当0x02时，由x48，得x02(舍去)；当x02时，由2x08，得x04.x04.
