1、太原市 2023 年高三年级模拟考试（一）数学试题参考答案及评分标准一、选择题：ACDBACDC二、选择题:9.B C10.A C D11.A C12.A D三、填空题：13.3014.115.216.2四、解答题：17.解：（1）设na的公差为 d，nS是等差数列，3122SSS，dd33122，2d，)(12*Nnnan；5 分（2）由（1）得212)(naanSnn，)12)(12(21nnnaaSbnnnn)12)(12(1)14(412nnn)121121(8141nn，8 分nnbbbT21)121121()5131()311(814nnn242 nnn.10 分18.解：（1）选
2、择条件：)sinsinsin332(sinsinsin22ACBACB，由题意可得CBAACBsinsinsin332sinsinsin222，由正弦定理得Abcacbsin332222，3 分由余弦定理Abcacbcos2222可得AAcossin33，3tanA，A0，60A；6 分选择条件：CBCBAsinsinsincoscos222，由题意可得CBCBAsinsinsinsin1sin1222，即CBACBsinsinsinsinsin222，由正弦定理得bcacb222，3 分由余弦定理得212cos222bcacbA，A0，60A；6 分（2）由（1）得 60A，CDBD2，AC
3、ABAD3231，22)3231(ACABADACABACAB94949122Abcbccos94949122492949122bcbc，9 分bcbcbcbcbc624243622，6bc，23343sin21bcAbcS ABC，当且仅当32,3cb时，ABC 的面积取最大值233.12 分19 解：（1）取 AD 的中点G，连接FGEG,，F是 PD 的中点，APGF/，AP平面 PAB，FG平面 PAB，/GF平面 PAB，同理可得/GE平面 PAB，3 分GGFGE，GE平面GEF，GF平面GEF，平面/GEF 平面 PAB，/EF平面 PAB；6 分（2）以点 A 为原点，AB，A
4、D 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得)0,0,0(A，)0,0,4(B，)0,4,0(D，)0,4,2(C，2PA，直线 PA 与平面 ABCD 的所成角为30，点 P 的竖坐标1z，又60PAB，点 P 的横坐标1x，纵坐标2y，)1,2,1(P，8 分设),(111zyxm 是平面 PAB 的一个法向量，则，APmABm,，02,041111zyxx令11 y，则21z，)2,1,0(m，设),(222zyxn 是平面 PAD 的一个法向量，则，APnADn,，02,041111zyxy令11 x，则11z，)1,0,1(n，10 分|,cosnm
5、nmnm33232，平面 PAB 与平面 PAD 夹角的余弦值为 33.12 分20.解：（1）60201iix，1200201iiy，3201201iixx，60201201iiyy，201222012020iiiiixxyxyxb103202606032044002，3031060 xbya，y关于 x 的线性经验回归方程为3010 xy；3 分（2）由（1）得3010 xy，75301045x，5.45.1x，该新药中此药物成份含量 x 的取值范围为5.4,5.1；5 分（3）（i）设A“随机抽取一件新药，是设备 A 生产的”，则A“随机抽取一件新药，是设备 B 生产的”，B“随机抽取一
6、件新药为不合格品”，由题意得32)(AP，31)(AP，009.0)|(ABP，006.0)|(ABP，)|()()|()()(ABPAPABPAPBP008.0006.031009.032；8 分（ii）设C“抽到一件不合格的新药，它是设备 A 生产的”，则43008.0009.032)()|()()()()|()(BPABPAPBPABPBAPCP，10 分设 X 表示三件不合格新药来自设备 A 生产的件数，则 X)43,3(B，所求事件的概率为)3()2()2(XPXPXP4143(223）C3227)43(333C.12 分21.解：（1）由题意可得直线 AB 的方程为1 byax，即
7、0abaybx，直线 AB 与圆71222 yx相切，73222baabr，)(1272222baba，21 ace，222cba，2234 ba，由22222234),(127bababa可得,3,422ba椭圆C 的方程为13422 yx；4 分（2）由题意可设),(11 yxP，),(22 yxQ，),(31 yxD，),(41 yxN，由（1）得)0,2(A，)3,0(B，则直线 AB 的方程为132 yx，)21(313xy，直线 AQ 的方程为)2(222xxyy，2)2(2214xyxy，设直线 PQ 的方程为3)2(xky，0k，由134,3)2(22yxxky得0)3(16)
8、23(8)43(222kkxkkxk,22143)32(8kkkxx，222143)3(16kkkxx，8 分3412yyy)2(32)2(12211xxyxy2)2)(2(3)2()2(2211221xxxyxyx，)2)(2(3)2()2(211221xxyxyx)2)(2(3)(221211221xxyyyxyx)2)(2(3)(23)2(3)2(21211221xxyyxkxxkxkxxkxxk8)(34()32(21210)43(8)32)(34(8)3)(32(16431222kkkkkkkkk，3412yyy，D是 PN 中点.12 分22.解：（1）由题意得xaxxxfln1)
9、(，0 x，xaxxxf1)(2，当2a时，xaxxxf1)(2xxx1220)1(2xx，)(xf 在),0(上递增，当10 x时，0)1()(fxf，)(xf在)1,0(上递减，当1x时，0)1()(fxf，)(xf在),1(上递增，)(xf只有一个极值点1x，此时不符合题意；2 分当2a时，令01)(2xaxxxf，即012 axx，则242 aam和242 aan是方程0)(xf的两个实数解，且nm10，)(xf 在),0(m 和),(n上递增，在),(nm上递减，且0)1(f，3 分0)1()(fmf，22222)(aeeefaaa022)221(122aaaa，),(21mexa，
10、0)(1 xf，)(xf 在),0(m 上存在唯一零点1x，0)1()(fnf，22222)(aeeefaaa0221)221(22aaaa，),(23aenx，0)(3 xf，)(xf 在),(n上存在唯一零点3x，5 分)(xf在),0(1x和),1(3x上递减，在)1,(1x和),(3 x上递增，记12 x，321,xxx是)(xf的三个不同的极值点，且32110 xxx，综上，实数a的取值范围为)2(，；6 分（2）由（1）得当2a时，)(xf有三个不同的极值点321,xxx，且32110 xxx，要证1321xxx，只需证131xx，xaxxxf1ln1)1()()ln1(xfxaxx，0)()1(33xfxf，1103 x，131xx，131xx.8 分要证)1(3321axxx，只需证4331axx，0ln1)(3333xaxxxf,3331lnxxxa,只需证0)1(3ln4ln)1(333333xxxxxx，10 分令)1(3ln4ln)1()(xxxxxxxu，1x，则1)1(2ln1)(22xxxxxxu，令1)1(2ln)(xxxxv，1x，则0)1()1()(22xxxxv，0)1()(vxv，0)1()(uxu，0)1()(uxu，0)1(3ln4ln)1(333333xxxxxx，即)1(3321axxx.12 分注：以上各题其它解法请酌情赋分.
