1、第15课时数列求和一、选择题1若数列an的通项公式为an2n2n1,则数列an的前n项和为()A2nn21 B2n1n21 C2n1n22 D2nn2解析:Sn2n12n2.答案:C2数列9,99,999,999 9,的前n项和等于()A10n1 B.(10n1)n C.(10n1) D.(10n1)n解析:an10n1,Sna1a2an(101)(1021)(10n1)(1010210n)nn.答案:B3数列an的通项公式是an,若前n项和为10,则项数为()A11 B99 C120 D121解析:an,Sna1a2an( 1)( )( )1.令110,得n120.答案:C4数列1,的前n项
2、和Sn等于()A. B. C. D.解析:an2(),所以Sn2(1)2(1).答案:B二、填空题5对于实数x,用x表示不超过x的最大整数,如0.320,5.685.若n为正整数,an,Sn为数列an的前n项和,则S4n_.解析:本题考查数列求和以及分析、等价转化能力题目背景是取整函数,解题关键是了解题设背景,迅速进入问题情境,善于将问题等价转化因为an,所以,a4na4n1a4n2a4n3n,S4na1a2a3a4a4n3a4n2a4n1a4n,(a4a5a6a7)(a4n4a4n3a4n2a4n1)a4n4(12n1)n2n2n.答案:2n2n6等比数列an的前n项和Sn2n1,则aaa_
3、.解析:当n1时,a1S11,当n2时,anSnSn12n1(2n11)2n1,又a11适合上式an2n1,a4n1.数列a是以a1为首项,以4为公比的等比数列aaa(4n1)答案:(4n1)7设数列an的通项为an2n7(nN*),则|a1|a2|a15|_.解析:|a1|a2|a15|53113523153.答案:153三、解答题8已知等差数列an的前n项和为Sn,且a35,S864,求Sn,并求数列a2n的前n项和Tn.解答:由已知,解得a11,d2,Snna1dn2.由an 2n1,a2n2n11,因此Tn(221)(231)(2n11)2n2n4.9. 设首项分别为1,2,3,p,公
4、差依次为1,3,5,2p1的p组等差数列,各组自首 项到第n项的和依次为S1,S2,S3,Sp.试求:S1S2S3Sp的值解答:S1n1,S22n3,S33n5,Sppn(2p1)所以S1S2S3Spn(12p)135(2p1)p(p1)(n1)p2np(np1)10已知an是等比数列,a12,a318;bn是等差数列,b12,b1b2b3b4a1a2a320.(1)求数列bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn的公式;(3)设Pnb1b4b7b3n2,Qnb10b12b14b2n8,其中n1,2,试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论解答:(1)设an的公比为q,由a3a1q2得q29
5、,q3.当q3时,a1a2a326181420,这与a1a2a320矛盾,故舍去;当q3时,a1a2a326182620,故符合题意.4b1d26,又b12,解得d3,所以bn3n1.(2)Snn2n.(3)b1,b4,b7,b3n2组成以3d为公差的等差数列,所以Pnnb13dn2n;b10,b12,b14,b2n8组成以2d为公差的等差数列,b1029,所以Qnnb102d3n226n,PnQn(n2n)(3n226n)n(n19),所以,对于正整数n,当n20时,PnQn;当n19时,PnQn;当n18时,PnQn.1观察下列等式:n2n,2n3n2n,3n4n3n2,4n5n4n3n,
6、5n6n5n4n2,6n7n6n5n3n,kak1nk1aknkak1nk1ak2nk2a1na0,可以推测,当k2(kN*)时,ak1,ak,ak1_,ak2_.解析:由观察可知,当k2时,每一个式子的第三项的系数是成等差数列的,所以ak1,第四项均为零,所以ak20.答案:02. 若公比为c的等比数列an的首项a11且满足an(n3,4,)(1)求c的值;(2)求数列nan的前n项和Sn.解答:(1)由题设,当n3时,anc2an2,an1can2,anan2.由题设条件可得an20,因此c2.即2c2c10,解得c1或c.(2)由(1),需要分两种情况讨论当c1时,数列an是一个常数列即an1(nN*)这时,数列nan的前n项和Sn123n.当c时,数列an是一个公比为的等比数列,即an()n1(nN*)这时,数列nan的前n项和Sn12()3()2n()n1.式两边同乘,得Sn2()2(n1)()n1n()n.式减去式,得(1)Sn1()()2()n1n()nn()n.所以Sn4(1)n(nN*)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m