1、专题38 数列中的通项公式 一、题型选讲题型一 、由的关系求通项公式例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.求数列的通项公式；【解析】因为,所以,两式相减得,整理得, 即,所以为常数列,所以, 所以例2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：（1）；【解析】设的公比为q.因为成等差数列，所以，即.因为，所以.因为，所以.因此.由题意，.所以，从而.所以的公差.所以.例3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；【解析】当时，整理得，解得；当时，可得，得，即，化简得，因
2、为，所以，从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；题型二、由的递推关系求通项公式例3、【2019年高考全国II卷理数】已知数列an和bn满足a1=1，b1=0，.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.【解析】（1）由题设得，即又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列由题设得，即又因为a1b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，所以，例4、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（ ）ABCD【答案】B【解析】根
3、据题中定义可得，即，即，等式两边同时除以，得，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，因此，.故选：B.例5、【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列已知（）求和的通项公式；（）设数列满足其中（i）求数列的通项公式；【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意得解得故所以，的通项公式为的通项公式为（2）（i）所以，数列的通项公式为题型三、新定义题型中通项公式的求法例6、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn设与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“k”数列（1）若等差数列是“1”数列，求的值；（2）若数列是“”数列，且，求数列的
4、通项公式；【解析】（1）因为等差数列是“1”数列，则，即，也即，此式对一切正整数n均成立若，则恒成立，故，而，这与是等差数列矛盾所以（此时，任意首项为1的等差数列都是“11”数列）（2）因为数列是“”数列，所以，即因为，所以，则令，则，即解得，即，也即，所以数列是公比为4的等比数列因为，所以则例7、【2019年高考北京卷理数】已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、第im项（i1i2im），若，则称新数列为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的
5、最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为若pq，求证：；（3）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s1，且长度为s末项为2s1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，），求数列an的通项公式【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）（2）设长度为q末项为的一个递增子列为.由pq，得.因为的长度为p的递增子列末项的最小值为，又是的长度为p的递增子列，所以.所以（3）由题设知，所有正奇数都是中的项.先证明：若2m是中的项，则2m必排在2m1之前（m为正整数）.假设2m排在2m1之后.设是数列的长度为m末项为2m1的递增子列，则是数列的长度
6、为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是中的项.假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k1之前（k=1，2，m1），所以2k和不可能在的同一个递增子列中.又中不超过2m+1的数为1，2，2m2，2m1，2m+1，所以的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为.与已知矛盾.最后证明：2m排在2m3之后（m2为整数）.假设存在2m（m2），使得2m排在2m3之前，则的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于.与已知矛盾.综上，数列只可能为2，1，4，3，2m3，2m，2m1，.经验证，数列2，1，4，3，2m3，2m，2m1，
7、符合条件.所以二、达标训练1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）A16B17C18D19【答案】B【解析】当时，即，且.故，故.故选：.2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中， 求和的通项公式；【解析】当时，当时，=，所以所以，于是，解得或（舍）所以=3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；【解析】证明：因为，所以因为所以所以又，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以4、（2020山东省淄博实验中学高三上期末）已知数列的各项均为正数，对任意，它
8、的前项和满足，并且，成等比数列.求数列的通项公式；【解析】对任意，有，当时，有，解得或.当时，有.-并整理得.而数列的各项均为正数，.当时，此时成立；当时，此时，不成立，舍去.，.5、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的通项公式【解析】（1）设等差数列首项为，公差为由已知得，解得于是（2）当时， 当时，当时上式也成立于是故6、（2020浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）求数列的通项公式；【解析】由，得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，当时，当时，也满足上式
9、，所以；7、【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个成等比数列（1）求数列的通项公式；【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得，解得从而所以，由成等比数列得解得所以8、【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；【解析】解：（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“M数列”.（2）因为，所以由，得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.
