1、专题13 结构不良题（三角函数与解三角形）结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。一、题型选讲题型一 、研究三角形是否存在的问题例1、【2020年新高考全国卷】在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】方案一：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，解得因此，选条件时问题中的三角形存在，此时方案二：选条件由和余弦定理
2、得由及正弦定理得于是，由此可得，由，所以因此，选条件时问题中的三角形存在，此时方案三：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，与矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在例2、（2021年徐州联考）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角，的对边分别为，且，_，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】选择：由余弦定理可知，4分由正弦定理得，又，所以，6分所以是直角三角形，则，所以的面积.10分选择：由正弦定理得，即，又，所以，所以，即，又，所以4分由正弦定理得，6分所以的面积.1
3、0分选择：因为，所以，又，所以，所以，即4分由正弦定理得，6分所以的面积.10分题型二、运用正余弦定理研究边、角及面积例3、【2020年高考北京】在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求：（）a的值：（）和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【解析】选择条件（）（）由正弦定理得：选择条件（）由正弦定理得：（）例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在面积，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，_，求.【解析】选择：所以；由余弦定理可得所以选择设，则，在中，即所以在中，即所以.所以，解得，又，所以，所以.例5、（湖北黄
4、冈高三联考）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，所对的边分别是，若_.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.【解析】（1）选，由正弦定理得，即，. 5分选，由正弦定理可得，. 5分选，由已知结合正弦定理可得，. 5分（2），即，解得，当且仅当时取等号，周长的最小值为6，此时的面积. 10分例6、（2021年南京金陵中学联考）现给出两个条件：2cb2acosB，(2bc)cosAacosC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，(1)求A；(2)若a1，求ABC周长的最大值【
5、解析】若选择条件2cb2acosB(1)由余弦定理可得2cb2acosB2a，整理得c2b2a2bc，2分可得cosA3分因为A(0，)，所以A5分(2)由余弦定理a2b2c22bccosA，得(1)2b2c22bc，6分即42b2c2bc(bc)2(2)bc，亦即(2)bc(bc)2(42)，因为bc，当且仅当bc时取等号，所以(bc)2(42)(2)，解得bc2，8分当且仅当bc时取等号所以abc21，即ABC周长的最大值为2110分若选择条件(2bc)cosAacosC(1)由条件得2bcosAacosCccosA，由正弦定理得2sinBcosA(sinAcosCsinCcosA)sin
6、(AC)sinB2分因为sinB0，所以cosA，3分因为A(0，)，所以A(2)同上例7、（2020全国高三专题练习（文）在中，分别为内角，的对边，且满.（1）求的大小；（2）再在，这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若_，_，求的面积.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）因为，又由正弦定理，得，即，所以，因为，所以.（2）方案一：选条件和.由正弦定理，得.由余弦定理，得，解得.所以的面积.方案二：选条件和.由余弦定理，得，则，所以.所以，所以的面积.题型三、考查三角函数的图像与性质例8、（2020届山东省泰安市高三上期末）在函数的图象向右平移个单位长
7、度得到的图象，图象关于原点对称；向量，；函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知_，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为（1）若且，求的值；（2）求函数在上的单调递减区间【解析】解：方案一：选条件由题意可知，又函数图象关于原点对称，（1），；（2）由，得，令，得，令，得，函数在上的单调递减区间为方案二：选条件，又，（1），；（2）由，得，令，得，令，得，函数在上的单调递减区间为方案三：选条件，又，（1），；（2）由，得，令，得，令，得.函数在上的单调递减区间为二、达标训练1、（2021年江苏连云港联考）已知有条件,条件;请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完
8、整的题目在锐角ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b,c , a=, b+c=5,且满足(1) 求角A的大小；(2) 求ABC的面积（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【解析】（1）选择条件,1分法1：由正弦定理得, 2分所以,3分因为, 所以 4分又,5分所以. 6分法2：由余弦定理得，2分化简得3分则， 4分又,5分所以. 6分（1）选择条件1分法3：因为，所以 2分因为，所以 3分化简得，解得, 4分又,5分所以. 6分（2）由余弦定理, 7分得，8分所以， 10分于是的面积12分2、（2021年泰州高三期中）在a=2,S=C2cosB， C=3这三个条件中任选
9、-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在A BC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,面积为S，3bcosA=acosC+ccosA，b=1,_，求 c的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。【解析】 在中，因为，所以根据正弦定理得2分所以,因为，所以5分选择，由余弦定理得，解得10分选择，所以所以，即，解得10分选择，因为，所以由得10分3、（2020届山东省临沂市高三上期末）在，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，_，求的面积S.【解析】选，由正弦定理得，.选，由正弦定理得.，.又，.选， 由余弦定理
10、得，即，解得或（舍去）.，的面积.故答案为：选为；选为；选为.4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在中，角的对边分别为，.求的面积.【解析】若选：由正弦定理得， 即， 所以， 因为，所以. 又， ，所以， 所以. 若选：由正弦定理得. 因为，所以，化简得， 即，因为，所以. 又因为，所以，即， 所以. 若选：由正弦定理得， 因为，所以，所以，又因为，所以， 因为，所以，所以. 又， ，所以， 所以.5、（2020届山东省德州市高三上期末）已知，分别为内角，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：；.（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
11、（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【解析】（1）由得，所以，由得，解得或（舍），所以，因为，且，所以，所以，矛盾.所以不能同时满足，.故满足，或，；（2）若满足，因为，所以，即.解得.所以的面积.若满足，由正弦定理，即，解得，所以，所以的面积.6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在； 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_，求的面积.【解析】由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，则这与矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.将
12、代入，解得.所以.在横线上填写“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因为，所以.从而有.又，所以由余弦定理及，得即.将代入，解得.所以.在横线上填写“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.将代入，解得.所以.7、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在;这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知，.(1)求;(2)如图，为边上一点，求的面积【解析】解:若选择条件，则答案为:(1)在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以.(2)解法1:设，易知在中由余弦定理得:，解得.所以在中，所以，所以，所以解法2:因为，所以，因为所以，所以因为为锐角，所以又所以所以若选择条件，则答案为:(1)因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，则，所以.(2)同选择
