1、专题06 函数单调性的综合运用一、题型选讲题型一 、运用构造法研究函数的单调性通过构造函数，研究函数的单调性，特别注意构造打方法要研究函数的形式特点，构造适当的函数，对于形式不明显的要给与变式。例1、【2020年高考全国I卷理数】若，则ABCD【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，此时，有当时，此时，有，所以C、D错误.故选：B本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.例2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意，设，则，则有，即有
2、，故函数的图象关于对称，则有，当时，又由当时，即当时，即函数在区间为增函数，由可得，即，函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，由可得，即，此时不存在，故选：例3、（2018徐州二模）已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为【答案】【解析】，为奇函数且为增函数。题型二、 给定区间的单调性已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数单调递增（减）时，其导函数（），勿忘等号。例4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；【解析】 在上是单调递增函数,在上，恒成立
3、，即：设， 当时，在上为增函数，当时，在上为减函数， 即 .例5、(2018无锡期末）若函数f(x)(x1)2|xa|在区间1，2上单调递增，则实数a的取值范围是_【答案】 (，1【解析】 由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解函数f(x)(x1)2|xa|(x1)2(xa)|x3(2a)x2(12a)xa|.令g(x)x3(2a)x2(12a)xa，则g(x)3x2(42a)x12a(x1)(3x12a)令g(x)0得x11，x2.当1，即a0，即(x1)(3x12a)0，解
4、得x1；令g(x)0，解得x1.所以g(x)的单调增区间是，(1，)，单调减区间是.又因为g(a)g(1)0，所以f(x)的单调增区间是，(1，)，单调减区间是(，a)，满足条件，故a1，即a1时，令g(x)0，即(x1)(3x12a)0，解得x；令g(x)0，解得1x1，故a(此种情况函数f(x)图像如图3)综上，实数a的取值范围是(，1.,图3)例6、(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)(ax2x)ex，其中e是自然对数的底数，aR. 若f(x)在1，1上是单调递增函数，求a的取值范围；解析： 由(1)得f(x)ax2(2a1)x1ex，当a0时，f(x)(x1)ex，f(x)0在1，
5、1上恒成立，当且仅当x1时取等号，故a0符合要求；(6分)当a0时，令g(x)ax2(2a1)x1，因为(2a1)24a4a210，所以g(x)0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1x2，因此f(x)有极大值又有极小值若a0，因为g(1)g(0)a0，所以f(x)在(1，1)内有极值点，故f(x)在1，1上不单调(8分)若a0x2，因为g(x)的图像开口向下，要使f(x)在1，1上单调，因为g(0)10，必须满足即所以a0.综上可知，a的取值范围是.(10分)题型三 含参区间的讨论求含参函数单调区间的实质解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解。当参数的不同取值对下一步的
6、影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。当参数扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。例7、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性;【解析】(1)，当时，恒成立，在上单调递减，当时，由，解得，由于时，导函数单调递增，故，单调递减，单调递增.综上，当时在上单调递减;当时， 在上单调递减，在上单调递增. .例8、（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数（为常数）.（1）若在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若，讨论函数的单调性；【解析】（1）由题意，则，由于函数的图象在处的切线与直线垂直，则，所以，因此
7、，；（2），则.若时，当或时，时，所以在和单调递增，在单调递减，若时，对，恒成立，在单调递增；若时，当或时，时，所以在和单调递增，在单调递减；二、达标训练1、【2020年高考全国卷理数】若2x2y0Bln(yx+1)0Dln|xy|0恒成立，则f(x)的单调增区间为(0，)(6分)若b0，则由f(x)0，得x.当x时，f(x)0，则f(x)的单调增区间为；(7分)当x时，f(x)时，由f(x)0，得x1，x2.a. 若ax20.由f(x)0，得0xx1；由f(x)0，得x2x0，则x10x2.由f(x)x1；由f(x)0，得0xx1.所以f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(9分)综上所述，当a时，f(x)的单调减区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调减区间为0，单调增区间为，；当a0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(10分)
