1、第二节等差数列1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系.1等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为(nN*，d为常数)第二项差an1and(2)常数 a，A，b 成等差数列的充要条件是 Aab2，其中 A叫做 a，b 的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d(m，nN*)注：andna1d，当公差 d 不等于零时，通项公式是关于n 的一次式，一次项系
2、数为公差，常数项为 a1d.(2)前 n 项和公式：Snna1nn12da1ann2.注：Snd2n2(a1d2)n，当公差 d0 时，前 n 项和公式是关于 n 的二次式，二次项系数为d2，一次项系数为 a1d2，常数项为0.3等差数列的性质(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有，特别地，当mn2p时，.注：此性质常和前n项和Sn结合使用(2)等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列(3)等差数列的单调性：若公差d0，则数列为；若d0，a2005a20060，a2005a20060 的最大自然数 n.(2)设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若S3S613，则 S6S12
3、等于()A.310 B.13C.18D.19课堂记录(1)a10，a2005a20060，a2005a20060，a20060.S40114011a20060 的最大自然数 n 为 4010.(2)解法一：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，依题意：S3S6 3a13d6a115d13，解得 a12d.S6S12 6a115d12a166d27d90d 310.故选 A.解法二：设 S3m，则 S63m，S6S32m.由左栏性质(3)知 S3，S6S3，S9S6，S12S9 成等差数列，于是 S12S94m，S9S63m，S96m，S1210m.S6S12 3m10m 310，故选 A.
4、即时训练(1)设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9_.(2)等差数列an的前n项和为Sn，若S22，S410，则S6等于()A12B18C24D42解析：(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.数列an是等差数列，S99a1a929a572，得 a1a916，即 2a516.a58.于是，a2a4a93a112d3(a14d)3a524.故填 24.(2)an是等差数列，S2，S4S2，S6S4 成等差数列，S6S4S22(S4S2)，S63S43S230624.答案：(1)24(2)C热点之四 等差数列前 n 项和的最值问题求等差数列前 n 项和 Sn的最值问题
5、，主要有以下方法：(1)二次函数法：将 Sn看作关于 n 的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，使问题得解；(2)通项公式法：求使 an0(或 an0)成立的最大 n 值即可得Sn 的最大(或最小)值；(3)不等式法：借助 Sn 最大时，有SnSn1，SnSn1，解此不等式组确定 n 的范围，进而确定 n 的值和对应 Sn的值(即 Sn的最值)例4 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值思路探究 此题可有多种解法，一般可先求出通项公式，利用不等式组确定正负转折项，或者利用性质确定正负转折项，然后求其和的最值课
6、堂记录 解法一：设公差为 d，S10S15，10201092d152015142d，得 d53.又 a120，an2053(n1)，an为递减数列由an0an10，即20n153020n530.12n13，nN*，当n12或13时，Sn有最大值，S12S13130.解法二：由a120，S10S15，解得公差d，S10S15，S15S10a11a12a13a14a150，a11a15a12a142a13，a130.d0，a1，a2，a11，a12均为正数，而a14及以后的各项均为负数当n12或13时，Sn有最大值，S12S13130.思维拓展 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：利用等差数列的
7、单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；利用等差数列的前n项和SnAn2Bn(A、B为常数)为二次函数，利用二次函数的性质求最值即时训练已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699.又Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A21B20C19D18解析：an为等差数列，a1a3a5105a335，a2a4a699a433，da4a333352，an是递减数列，ana3(n3)d35(n3)(2)2n41，an0，2n410，n412，当 n20 时，an0，n21 时，an0，n20 时，Sn最大答案：B等差数列知识在高考中属必考内容，
8、通常直接考查等差数列的通项公式，前n项和公式的题目为容易题，常以选择题、填空题形式出现，而与其他知识(函数、不等式、解析几何等)相结合的综合题一般为解答题，难易程度为中档题例 5(2010山东高考)已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前 n 项和为 Sn.(1)求 an 及 Sn；(2)令 bn1an21(nN*)，求数列bn的前 n 项和 Tn.分析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键对(1)可直接根据定义求解；(2)采用裂项求和即可解决解(1)设等差数列an的公差为 d，a37，a5a726，有a12
9、d7，2a110d26，解得a13，d2，an32(n1)2n1，Sn3nnn122n22n.(2)由(1)知 an2n1，bn1an2112n121141nn1141n 1n1，Tn1411212131n 1n1141 1n1 n4n1，即数列bn的前 n 项和 Tnn4n1.评析 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如裂项、叠加、累积本题应用了裂项求和1(2010福建高考)设等差数列an的前n项和为Sn.若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6B7C8D9解析：a111，a4a66，a111，d2.Snna1nn12d11nn2nn212n.(n6)236.n6 时，Sn 最小答案：A2(2010浙江高考)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是_解析：S55a1542 d5(a12d)，S63(2a15d)，又S6S5150，即(a12d)(2a15d)10，整理，得 2a129a1d10d21081d242(10d21)0，即 81d280d280，d28，d2 2或 d2 2.答案：d2 2或 d2 2
