1、第三节 三角函数的图象与性质1.能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间()内的单调性2，21周期函数及最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期f(xT)f(x)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysinxycosxytanx图象定义域xRxRxR 且 x2k，kZ值域y|1y1y|1
2、y1R单调性在22k，22k上递增，kZ；在22k，32 2k上递减，kZ在(2k1)，2k上递增，kZ；在2k，(2k1)上递减，kZ在(2k，2k)上递增，kZ最值x22k(kZ)时，ymax1；y22k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1无最值奇偶性奇偶奇对称中心(k，0)，kZ(k2，0)，kZ(k2，0)，kZ对称性对称轴xk2，kZxk，kZ无对称轴最小正周期221下列函数中，周期为2的是()Aysinx2 Bysin2xCycosx4Dycos4x解析：利用公式 T2.答案：D2函数 y|sinx|的一个单调增区间是()A.4，4B.4
3、，34C.，32D.32，2解析：由 y|sinx|图象易得函数单调递增区间k，k2，kZ，当 k1 时，得，32 为 y|sinx|的单调递增区间答案：C3已知函数 f(x)sin(x2)(xR)，下面结论错误的是()A函数 f(x)的最小正周期为 2B函数 f(x)在区间0，2 上是增函数C函数 f(x)的图象关于直线 x0 对称D函数 f(x)是奇函数解析：ysin(x2)cosx，T2，A 正确；ycosx 在0，2 上是减函数，ycosx 在0，2 上是增函数，B 正确；由图象知 ycosx 关于直线 x0 对称，C 正确ycosx 是偶函数，D 错误答案：D4设函数 f(x)ABs
4、inx，若 B 10，故sin(18)sin(10)答案：热点之一 三角函数的定义域问题三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图象或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用 例 1 求下列函数的定义域：(1)ylg(2sinx1)12cosx；(2)y2log12x tanx.思路探究(1)第(1)小题实际就是求使2sinx1012cosx0 成立的 x 值，可用图象或三角函数线解决；(2)第(2)小题解不等式组2log12x0tanx0，然后利用数轴求解课堂记录(1)要使原函数有意义，必须有：2sinx10，12c
5、osx0，即sinx12，cosx12.由图知，原函数的定义域为：2k3，2k56)(kZ)(2)要使函数有意义则 2log12x0，x0，tanx0，xk2，kZ，得0 x4，kxk2(kZ).函数定义域是x|0 x2或 x4即时训练 (1)求函数 y1 2cos(2x)的定义域；(2)求函数 y sinx 16x2的定义域解：(1)由函数 1 2cos(2x)0，得 sinx 22，利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是x|2k54 x2k4，kZ(2)由sinx0，16x20，得2kx2k，kZ，4x4，函数的定义域是x|4x 或 0 x 热点之二 三角函数的值域与最值问题求
6、解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出yAsin(x)的值域；(3)换元法：把sinx、cosx看作一个整体，可化为二次函数提醒：换元后注意新元的范围例 2(1)求函数 yacosxb 的最大值和最小值；(2)求函数 y2sin(2x3)(6x6)的值域；(3)求函数 y2cos2x5sinx4 的值域思路探究(1)由 cosx1,1，分 a0 和 a0 讨论(2)6x0时，函数的最大值为ab，最小值为ab.当x2k，kZ时取得最大值当x2k，kZ时取得最
7、小值当a0时，函数最大值为ab，最小值为ab.当x2k，kZ时取得最大值当x2k，kZ时取得最小值(2)6x6，32x3.02x323，0sin(2x3)1.00，0，|0，0)的函数的单调区间，基本思路是把 x 看作一个整体，由22kx22k(kZ)求得函数的增区间，由22kx32 2k(kZ)求得函数的减区间2形如 yAsin(x)(A0，0)的函数，可先利用诱导公式把 x 的系数变为正数，得到 yAsin(x)，由22kx22k(kZ)得到函数的减区间，由22kx32 2k(kZ)得到函数的增区间注意：对于函数 yAcos(x)，yAtan(x)的单调区间的求法与 yAsin(x)的单调
8、区间的求法相同例 4 已知函数 f(x)log2 2sin(2x3)(1)求函数的定义域；(2)求满足 f(x)0 的 x 的取值范围；(3)求函数 f(x)的单调递减区间思路探究 求 f(x)的单调递减区间必须在定义域内求解课堂记录(1)令 2sin(2x3)0sin(2x3)02k2x32k，kZk6xk23，kZ.故函数的定义域为(k6，k23)，kZ.(2)f(x)0，sin(2x3)222x32k4或 2k34，kZxk 724 或 xk1324，kZ，故 x 的取值范围是x|xk 724 或 xk1324，kZ(3)令 2k22x32k，kZ2k562x2k43，kZk 512xk
9、23，kZ，故函数 f(x)的单调递减区间是k 512，k23)，kZ.即时训练 求函数 y2sin(4x)的单调增区间解：y2sin(4x)2sin(x4)函数 y2sin(4x)的递增区间就是函数 u2sin(x4)的递减区间由 2k2x42k32(kZ)，得 2k34x2k74(kZ)函数 y2sin(4x)的递增区间为：2k34，2k74(kZ)从近两年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法例 5
10、(2010天津高考)已知函数 f(x)2 3sinxcosx2cos2x1(xR)(1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，2 上的最大值和最小值；(2)若 f(x0)65，x04，2，求 cos2x0 的值解 本题主要考查二倍角的正弦、余弦、两角和的正弦、函数 yAsin(x)的性质，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦等基础知识，考查基本能力一般思路先整理、化简 f(x)Asin(x)形式(1)由 f(x)2 3sinxcosx2cos2x1，得f(x)3(2sinxcosx)(2cos2x1)3sin2xcos2x2sin2x6.函数 f(x)的最小正周期为.f(x)2sin2x6
11、在区间0，6 上为增函数，在区间6，2 上为减函数，又 f(0)1，f(6)2，f(2)1，函数 f(x)在区间0，2 上的最大值为 2，最小值为1.(2)由(1)可知 f(x0)2sin(2x06)f(x0)65，sin2x06 35.由 x04，2，得 2x0623，76，从而 cos2x06 1sin22x06 45.cos2x0cos2x06 6cos2x06 cos6sin2x06 sin634 310.评析：本题属于基础题目，关键整理出 f(x)Asin(x)一定要小心谨慎，明确正弦型函数的单调性1(2010江苏高考)定义在区间0，2 上的函数 y6cosx 的图象与 y5tanx
12、 的图象的交点为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 ysinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为_解析：本题考查三角函数的概念和性质线段 P1P2 的长即为sinx 的值，且其中的 x 满足 6cosx5tanx,6cosx5sinxcosx，6cos2x5sinx,6(1sin2x)5sinx，解得 sinx23，线段 P1P2 的长为23.答案：232(2010陕西高考)对于函数 f(x)2sinxcosx，下列选项中正确的是()Af(x)在4，2 上是递增的Bf(x)的图象关于原点对称Cf(x)的最小正周期为 2Df(x)的最大值为 2解析：f(x)2sinxcosxsin2x，f(x)sin2xf(x)答案：B
