1、第六节简单的三角恒等变换能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)1半角公式(1)用 cos 表示 sin22，cos22，tan22.sin221cos2；cos221cos2；tan221cos1cos.(2)用 cos 表示 sin2，cos2，tan2.sin21cos2；cos21cos2；tan21cos1cos；(3)用 sin，cos 表示 tan2.tan2sin1cos1cossin.2形如 asinxbcosx 的化简asinxbcosx a2b2sin(x)在
2、 asinxbcosx a2b2sin(x)中如何确定角？提示：展开 a2b2sin(x)后可以发现：cosaa2b2，sinba2b2，角的终边位置可由 a、b 的符号确定1已知 2，则 cos2等于()A1cos2 B.1cos2C1cos2D.1cos2解析：2，22，cos20.又cos2cos221，cos21cos2.答案：C2已知 sin(x4)513，则 sin2x 的值等于()A.120169B.119169C120169D119169解析：因为 sin(x4)513，所以 sinxcosx 513 2，则(sinxcosx)21sin2x 50169，所以 sin2x119
3、169.答案：D3化简 2cos2sin21的结果是()Acos1 Bcos1C.3cos1 D 3cos1解析：2cos2sin21 1sin211cos2 cos212cos21 3cos1.答案：C4函数f(x)2sinx2cosx的值域是_解析：f(x)2 2sin(x4)又1sin(x4)1，2 2f(x)2 2.答案：2 2，2 25若1tan1tan2009，则1cos2tan2_.解析：1cos2tan21sin2cos2(cossin)2cos2sin2cossincossin1tan1tan2009.答案：2009 热点之一 三角函数式的化简1化简的思路对于和式，基本思路是
4、降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法2化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等例 1(1)f()2tan2sin221sin2cos2，求 f(12)；(2)已知 tan22 2，22，求2cos22sin12sin(4)的值思路探究 要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或化成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值课堂记录(1)f()2tancos12sin2sincos 2cossin 4sin2，f(12)4sin68.(2)原式cossinsin
5、cos1tan1tan，又 tan2 2tan1tan22 2.解得 tan 12或 tan 2.22，2.tan 12，故原式1 121 1232 2.即时训练 化简(1sincos)sin2cos222cos(0)解：原式2sin2cos22cos22 sin2cos24cos22cos2sin22cos22cos2cos2coscos2，0，020，原式cos.热点之二 三角函数式的求值已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值例 2(2009天津高考)
6、已知 cos(x4)210，x(2，34)(1)求 sinx 的值；(2)求 sin(2x3)的值课堂记录(1)解法一：因为 x(2，34)，所以 x4(4，2)，于是sin(x4)1cos2(x4)7 210.sinxsin(x4)4sin(x4)cos4cos(x4)sin47 210 22 210 22 45.解法二：由题设得 22 cosx 22 sinx 210，即 cosxsinx15.又 sin2xcos2x1，从而 25sin2x5sinx120，解得 sinx45或 sinx35.因为 x(2，34)，所以 sinx45.(2)因为 x(2，34)，故 cosx 1sin2x
7、，1(45)235.sin2x2sinxcosx2425，cos2x2cos2x1 725.所以 sin(2x3)sin2xcos3cos2xsin3247 350.即时训练 已知 cos17，cos()1314，且 02.(1)求 tan2 的值；(2)求.解：(1)由 cos17，02，得 sin 1cos211724 37.tansincos4 37 714 3.于是 tan2 2tan1tan2 24 31(4 3)28 347.(2)由 02，得 02.又cos()1314，sin()1cos2()1131423 314.由()，得 coscos()coscos()sinsin()1
8、713144 37 3 314 12.所以 3.热点之三 三角函数式的证明1证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等2证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等例3 已知tan()2tan，求证：3sinsin(
9、2)课堂记录 证明：由已知 tan()2tan 可得sin()cos()2sincossin()cos2cos()sin而 sin(2)sin()sin()coscos()sin2cos()sincos()sin3cos()sin.又sinsin()sin()coscos()sin2cos()sincos()sincos()sin.故sin(2)3sin.思维拓展 三角式的化简或证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一即时训练 设、是锐角，且 t
10、an2tan32，tan12tan，求证：、成等差数列解：tan12tantan21tan22tan21tan221tan22 1tan22tan2tan321tan32tan2tan2tan21tan2tan2tan2.02，02.0222，而 02.2.即、成等差数列高考对三角恒等变换的考查一般与三角函数的图象与性质相结合，有时也会在三角形中综合考查三角恒等变换，考查学生运算求解能力例 4(2009广东高考)已知向量 a(sin，2)与 b(1，cos)互相垂直，其中(0，2)(1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 5cos()3 5cos，02，求 cos 的值解(1)ab，abs
11、in2cos0，即 sin2cos.又sin2cos21，4cos2cos21，即 cos215，sin245.又(0，2)，sin2 55，cos 55.(2)5cos()5(coscossinsin)5cos2 5sin3 5cos，cossin，cos2sin21cos2，即 cos212.又02，cos 22.1(2010上海高考)已知 0 x2，化 简：lg cosxtanx12sin2x2 lg 2cosx4 lg(1 sin2x)解：lgcosxtanx12sin2x2 lg(sinxcosx)lg(sinxcosx)2lg(sinxcosx)2lg(sinxcosx)20.2(
12、2010湖南高考)已知函数 f(x)3sin2x2sin2x.(1)求函数 f(x)的最大值；(2)求函数 f(x)的零点的集合解：(1)f(x)3sin2x(1cos2x)2sin2x6 1，当 2x62k2，即 xk6(kZ)时，函数 f(x)取最大值 1.(2)解法一：由(1)及 f(x)0 得 sin(2x6)12，2x62k6或 2x62k56，即 xk 或 xk3.函数 f(x)的零点的集合为x|xk 或 xk3，kZ解法二：由 f(x)0 得 2 3sinxcosx2sin2x，于是 sinx0，或 3cosxsinx，即 tanx 3.由 sinx0 可知 xk；由 tanx 3可知，xk3.函数 f(x)的零点的集合为x|xk 或 xk3，kZ
