1、考点规范练28数系的扩充与复数的引入基础巩固1.设i为虚数单位,则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i答案:C解析:由题意,(1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C.2.(2020广西南宁二模)设复数z满足z(1-i)=2+i,则z=()A.12+32iB.12-32iC.1+3iD.1-3i答案:B解析:z=2+i1-i=(2+i)(1+i)2=12+32i,z=12-32i.3.若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案:B解析:设z=a+bi(a,bR),则2z+z=3a+bi=3-2i,故a=
2、1,b=-2,则z=1-2i,选B.4.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z=-1-iB.z=-1+iC.|z|=2D.|z|=2答案:D解析:z=1-i,|z|=1+1=2,选D.5.若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案:D解析:z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故选D.6.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=()A.2B.-2C.1+iD.1-i答案:A解析:由题意可知z2=1-i,故z1z2=(1+i)(1-i)=2.故选A.7.(2020山
3、东烟台模拟)若复数z满足z(-1+2i)=|1-i|2(i为虚数单位),则复数z的虚部为()A.-45B.45iC.45D.-45i答案:A解析:由z(-1+2i)=|1-i|2=(2)2=2,得z=2-1+2i=2(-1-2i)(-1+2i)(-1-2i)=-25-45i,所以复数z的虚部为-45.8.若复数z=1+ia-i(i是虚数单位,aR)是纯虚数,则z的虚部为()A.1B.iC.2D.2i答案:A解析:z=1+ia-i=(1+i)(a+i)(a-i)(a+i)=a-1+(a+1)ia2+1.因为z是纯虚数,所以a-1=0,a+10,解得a=1,所以z的虚部为1+112+1=1,故选A
4、.9.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数z12z2所对应的点在复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:z1=2+2i,z2=1-3i,z12z2=(2+2i)21-3i=8i1-3i=8i(1+3i)(1-3i)(1+3i)=-24+8i10=-125+45i.复数z12z2在复平面内所对应的点的坐标为-125,45,位于第二象限.故选B.10.已知i为虚数单位,复数z1=4-2i,z2=1+i,则z1z2=.答案:1-3i解析:z1z2=4-2i1+i=(4-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-6i2=1-3i.11.若复
5、数(a+i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是.答案:-1解析:(a+i)2=a2-1+2ai,由题意知a2-1=0,且2a0,即a=-1.12.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为z,则|(1-z)z|=.答案:10解析:依题意得(1-z)z=(2+i)(-1+i)=-3+i,则|(1-z)z|=|-3+i|=(-3)2+12=10.能力提升13.若z=4+3i,则z|z|=()A.1B.-1C.45+35iD.45-35i答案:D解析:因为z=4+3i,所以|z|=|4+3i|=42+32=5,共轭复数为z=4-3i.故z|z|=45-35i,选D.14.(2
6、020山东滨州三模)已知xR,当复数z=2x+(x-3)i的模最小时,z的虚部为()A.2B.2C.-2D.-2i答案:C解析:z=2x+(x-3)i,|z|=2x2+(x-3)2=3x2-6x+9,当x=1时,|z|有最小值,此时z=2-2i,z的虚部为-2.15.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.答案:2解析:(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,a-2=0,a=2.16.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos +(+3sin )i(m,R),且z1=z2,则的取值范围是.答案:-916,7解析
7、:由复数相等的充要条件可得m=2cos,4-m2=+3sin,化简,得4-4cos2=+3sin,由此可得=-4cos2-3sin+4=-4(1-sin2)-3sin+4=4sin2-3sin=4sin-382-916.因为sin-1,1,所以4sin2-3sin-916,7.所以的取值范围为-916,7.17.(2020吉林梅河口模拟)欧拉公式eix=cosx+isinx(e为自然对数的底,i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它不仅出现在数学分析里,而且在复变函数论里也占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e4i表示的复数在复平面内位于第象限.答案:三解析:由eix=cosx+isinx,得e4i=cos4+isin4,e4i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos4,sin4).432,cos40,sin40,即点(cos4,sin4)位于第三象限.高考预测18.已知i是虚数单位,z=1+i-3i2 020,且z的共轭复数为z,则zz=()A.3B.5C.5D.3答案:C解析:z=1+i-3i2020=1+i-3i4505=-2+i,|z|=(-2)2+12=5.zz=|z|2=(5)2=5.
