1、山西省太原市2020届高三数学下学期模拟测试试题（三）文（含解析）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至4页，第卷5至8页.2.回答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.4.回答第卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合
2、，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】确定出集合中的元素后，由并集定义计算【详解】由题意，故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则（ ）A. 9B. 10C. 12D. 13【答案】D【解析】【分析】由题意结合分层抽样的性质可得，即可得解.【详解】由题意，解得.故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了运算求解能力，牢记分层抽样的性质是解题
3、关键，属于基础题.3.设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为（，），则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，代入已知等式化简即可【详解】设，即，化简得故选：B.【点睛】本题考查复数模的运算，直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得也可由模的几何意义求解4.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A. 45B. 42C. 25D. 36【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可知,进而代入等差数列的前项和的公式即可.【详解】由题,.故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.5.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D
4、. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】“”是“”的充要条件，选C.6.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为3，1，则输出的等于A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：当n1时，a3，b2，满足进行循环的条件，当n2时，a，b4，满足进行循环的条件，当n3时，a，b8，满足进行循环的条件，当n4时，a，b16，
5、不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7.已知，(0, )，则=A. 1B. C. D. 1【答案】A【解析】【详解】，即，故故选8.已知向量是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合单位向量的性质、平面向量数量积的定义可得，利用平面向量数量积的运算可得、，再利用即可得解.【详解】向量是夹角为的两个单位向量，又，又，.故选：C.【点睛】本题考查了单位向量的性质及平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，熟练使用平面向量数量积的运算律是解
6、题关键，属于中档题.9.把函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位后，得到函数yg（x）的图象.则g（x）的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数的图象变换规律，即可求解，得到函数的解析式.【详解】由题意，把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中利用余弦的倍角公式，化简得到的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】
7、C【解析】【分析】由偶函数的性质将化为： ，再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围.【详解】因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以，则为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，则a的取值范围是，故选：C.【点睛】此题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题.11.设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率【详解】由题意，由双曲线定义得，从而得，在中，由余弦定理得，化简得故选：A【点睛】本题
8、考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式12.在三棱锥中，PA、PB、PC两两垂直，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知得平面，因此当时，直线AQ与平面PBC所成角最大，此时可求得，从而求得，又以为棱的长方体的对角线就是三棱锥外接球直径，从而可求得其表面积【详解】PA与PB、PC垂直，平面，是在平面内的射影，就是直线与平面所成的角，由平面得，要使最大，则最小，显然当时，最小，此时，又，而，由，得，从而，如图，以为棱作出长方
9、体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，外接球直径等于长方体的对角线长，球表面积为故选：A【点睛】本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径由于两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是球的直径由此可得解第卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数则_.【答案】8.【解析】【分析】依题意得f（）3，从而f（f（）f（3），由此能求出结果.【详解】解：函数则； f（3）3218.
10、故答案为：8.【点睛】此题考查的是分段函数求值问题，属于基础题.14.抛物线经过点（1，4），则抛物线的焦点到准线的距离等于_.【答案】【解析】【分析】由点在抛物线上可得抛物线的方程为，结合抛物线的性质可得抛物线的准线方程与焦点坐标，即可得解.【详解】由点在抛物线上可得，所以该抛物线方程为，所以该抛物线的焦点为，准线方程为，所以抛物线的焦点到准线的距离等于.故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15.已知数列的前项和为且满足，则数列的通项_【答案】【解析】【分析】先求得时；再由可得时,两式作差可得,进而求解.【详解】当时,解得；由,可知当时
11、,两式相减,得,即,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,故答案为:【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.16.对任意正整数，函数，若，则的取值范围是_；若不等式恒成立，则的最大值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将代入求解即可；当为奇数时,则转化为,设,由单调性求得的最小值；同理,当为偶数时,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值.【详解】由题,解得.当为奇数时,由,得,而函数为单调递增函数,所以,所以；当为偶数时,由,得,设,单调递增,所以,综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为.故答案为:(1)；(2)【点睛】本题考查
12、利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.太原市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现有甲、乙两个小区采取不同的宣传与倡导方式对各自小区居民进行了有关垃圾分类知识的培训，并参加了评比活动，评委会随机从两个小区各选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分，评分后得到如下茎叶图.（1）依茎叶图判断哪个小区的平均分高？（2）现从甲小区不低于8
13、0分的家庭中随机抽取两户，求分数为87的家庭至少有一户被抽中的概率；（3）如果规定分数不低于85分的家庭为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关？”甲乙合计优秀不优秀合计参考公式和数据：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）乙小区的平均分高；（2）；（3）填表见解析；可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关.【解析】【分析】（1）由茎叶图中数据直接判断即可得解；
14、（2）由题意列出所有基本事件，分别求出所有的基本事件的个数、满足要求的基本事件的个数，再由古典概型概率公式即可得解；（3）由题意完成列联表，代入公式求出，再与5.024比较即可得解.【详解】（1）甲小区分数集中于6090之间，乙小区分数集中于80100之间，所以乙小区的平均分高；（2）记分数为87的家庭为，其他不低于80的家庭为，则从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户的基本事件有：，共15种； 分数为87的家庭至少有一户被抽中的基本事件有：，共9种；故所求概率；（3）列联表如下：甲乙合计优秀31013不优秀171027合计202040，因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分
15、是否优秀与小区宣传培训方式有关.【点睛】本题考查了茎叶图的应用及古典概型概率的求解，考查了独立性检验的应用与运算求解能力，属于中档题.18.在中，角，所对的边分别为，且求的值；设的平分线与边交于点，已知，求的值.【答案】；.【解析】【分析】利用正弦定理化简求值即可；利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出的值.【详解】解：，由正弦定理得：，又，为三角形内角，故，则，故，；（2）平分，设，则,，则，又，则在中，由正弦定理：，.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.19.如图，在直三棱柱中，是的中点，.（）求证：平面；（）异面直线和
16、所成角的余弦值为，求几何体的体积.【答案】（）证明见解析；（）2【解析】【分析】（）连结交于点，连结，证出，利用线面平行的判定定理即可证出.（）根据题意可求出，在中，利用余弦定理求出，由结合三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（）如图，连结交于点，连结，因为在直三棱柱中，四边形是矩形，所以点是的中点，因为是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（）因为棱柱是直三棱柱，所以，因为，所以，因为异面直线和所成角的余弦值为.所以，因为，所以.根据余弦定理，在中，可得，因，所以由勾股定理可得，因为，所以平面，同理平面，所以.所以几何体的体积为2.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式
17、，在证明线面平行时，需先证线线平行，此题属于中档题.20.已知椭圆的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆的内接三角形，若坐标原点为的重心，求点到直线距离的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得，再结合点在椭圆上即可得解；（2）设，记线段中点为，由重心的性质可得点，按照、分类，结合点差法、点到直线的距离可得，即可得解.【详解】（1）因为椭圆的焦距为2，所以，因为椭圆过点，所以.解得，故椭圆方程为；（2）设，记线段中点为，因为为的重心，所以，则点的坐标为，若，则，此时直线与轴垂直，故原点到直线的距离为，即为1；若，此时直线的斜率存在，设，则，
18、又，两式相减得，可得.故直线的方程为即，则点到直线的距离为，将代入得，因为，所以；又，故原点到直线距离的最小值为.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合应用，考查了点差法的应用及运算求解能力，属于中档题.21.已知两数（1）当时，求函数的极值点；（2）当时，若恒成立，求的最大值【答案】（1）唯一极大值点1，无极小值点（2）1【解析】【分析】（1）求出导函数，求得的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；（2）问题可变形为恒成立，由导数求出函数的最小值，时，无最小值，因此只有，从而得出的不等关系，得出所求最大值【详解】解：（1）定义域，当时，令得，当所以在上单调递增，在上单调递减，
19、所以有唯一的极大值点，无极小值点（2）当时，若恒成立，则恒成立，所以恒成立，令，则，由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以所以，所以，故的最大值为1【点睛】本题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题在求极值时，由确定的不一定是极值点，还需满足在两侧的符号相反不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑，【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线过
20、点，倾斜角为（1）求曲线的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的值【答案】（1），(为参数)；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程两边同乘，根据公式即可化简为直角坐标方程；根据已知信息，直接写出直线的参数方程，整理化简即可；（2）联立曲线的直角坐标方程和直线的参数方程，得到关于的一元二次方程，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得结果.【详解】（1）因为，所以，所以，即曲线的直角坐标方程为：，直线的参数方程(为参数)，即(为参数).（2）设点，对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，整理，得，所以，因为所以=， =4，所以=.【点睛
21、】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，以及直线参数方程的求解，涉及利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题，属综合基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数.（1）若，解不等式；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式得值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【详解】解：（1）当时，化为或或， 解得或或，.即不等式的解集为. （2）根据题意，得的取值范围是值域的子集.，又由于，的值域为 故，.即实数a的取值范围为【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
