1、23.1.3 30，45，60角的三角函数值教学目标【知识与技能】1.熟记30、45、60角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【过程与方法】1.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.2.培养学生观察、比较、分析、概括的能力.【情感、态度与价值观】经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合理性,感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性,养成科学、严谨的学习态度.重点难点【重点】30、45、60角的三角函数值.【难点】与特殊角的三角函数值有关的计算.教学进程一、复习巩固教师多媒体课件出示:如图
2、所示:在RtABC中,C=90. (1)a、b、c三者之间的关系是 ; (2)sinA= ,cosA= , tanA= ; sinB= ,cosB= , tanB= . (3)若A=30,则= . 学生回答.二、共同探究,获取新知1.引出新知教师多媒体课件出示问题:为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:(1)含30和60两个锐角的三角尺;(2)皮尺.请你设计一个测量方案,测出一棵大树的高度.学生讨论,交流想法.生:我们组设计的方案如下: 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,这位同学拿起三角尺,使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,30角的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度、
3、BE的长度,因为DE=AB,所以只需在RtCDA中求出CD的长度即可.师:在RtACD中,CAD=30,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢?生:含30角的直角三角形有一个非常重要的性质:30的角所对的直角边等于斜边的一半,即AC=2CD,根据勾股定理,得(2CD)2=CD2+a2.解得,CD=a.则树的高度即可求出.师:我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30角的正切值,在上图中,tan30=,则CD=atan30,岂不简单!你能求出30角的三个三角函数值吗?2.讲授新课.(1)探索30、45、60
4、角的三角函数值.师:观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度?生:一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30、60、45、45.师:sin30等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. 生:sin30=.sin30表示在直角三角形中,30角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30角所对的边长为a(如图所示),根据“直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边长等于2a.根据勾股定理,可知30角的邻边长为a,所以sin30=.师:cos30等于多少?tan30呢?生:cos30=.tan30=.师:我们求出了30角的三个三角函数值,还有两个特殊角45、60,它们
5、的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?生:求60角的三角函数值可以利用求30角的三角函数值的三角形.因为30角的对边和邻边分别是60角的邻边和对边.利用上图,很容易求得sin60=,cos60=,tan60=. 师生共同分析:我们一起来求45角的三角函数值.含45角的直角三角形是等腰直角三角形.如图,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,斜边为a.由此可求得sin45=,cos45=,tan45=1.教师多媒体课件出示: 三角函数角度 sincostan3045160 师:这个表格中的30、45、60角的三角函数值需要熟记.另一方面,要能够根据30、45、60角的三角函数值说出相应的锐
6、角的大小.为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30、45、60角的正弦值,你能发现什么规律呢?生:30、45、60角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为、,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.师:再来看第二列的函数值,有何特点呢?生:第二列是30、45、60角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从小到大分别为、,余弦值随角度的增大而减小.师:第三列呢?生:第三列是30、45、60角的正切值,首先45角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45=1比较特殊.师:很好!掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30、45、60角的三角函数值的记忆情况.相信同
7、学们一定会做得很棒! (2)进一步探究锐角的三角函数值.如图,在RtABC中,C=90.sinA=,cosA=,sinB=,cosB=,sinA=cosB,cosA=sinB.A+B=90,B=90-A,即 sinA=cosB=cos(90-A),cosA=sinB=sin(90-A).任意一个锐角的正(余)弦值,等于它的余角的余(正)弦值.三、例题讲解,巩固新知【例1】 计算:(1)sin30+cos45;(2)sin260+cos260-tan45.分析:本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角的三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260表示(sin6
8、0)2,cos260表示(cos60)2;教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正得到:解:(1)sin30+cos45=+=;(2)sin260+cos260-tan45=()2+()2-1=+-1=0.【例2】 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析:引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解:根据题意(如图)可知,BOD=60,OB=OA=OD=2.5 m,AOD=60=30,OC=ODcos30=2.52
9、.165(m).AC=2.5-2.1650.34(m).所以,最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m.四、随堂练习师:同学们,刚才学习了那么多,现在让我来检测一下你们学得怎么样了.教师多媒体课件出示:1.计算sin245+cos245的值为( )A.2B.1C.0D.3【答案】B2.下列各式中,正确的是( )A.sin20+sin55=sin75B.tan80-tan50=tan30C.2cos60=1D.cos60-cos30=cos30【答案】C3.计算:(1)sin60-tan45;(2)cos60+tan60;(3)sin45+sin60-2cos45.【答案】(1)原式=-1=;
10、(2)原式=+=;(3)原式=+-2=.7.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30,高为7 m.扶梯的长度是多少?【答案】扶梯的长度为=14(m),所以扶梯的长度为14 m.五、课堂小结本节课总结如下:1.探索30、45、60角的三角函数值.sin30=,sin45=,sin60=;cos30=,cos45=,cos60=;tan30=,tan45=1,tan60=.2.能进行含30、45、60角的三角函数值的计算. 3.能根据30、45、60角的三角函数值,说出相应锐角的大小.教学反思本节课的教学中,课堂环节设置齐全,能很好地贯彻执行理解教育,对理解教育的教育模式把控较好;课堂中学生分组很好,能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围;课件制作很好,能很好的配合指导自学书的使用,提高了课堂的效率;学生积极参与,学习积极性较高;课堂习题的设置有梯度,题目能面向全体学生.
