1、山东省泰安市宁阳一中2020-2021学年高一数学下学期第一次考试试题(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1已知i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2向量a(2，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A6 B5 C1 D63.已知向量，且，若，则（ ）A. B. C. D. 4.如图，在ABC中，若，则的值为() A3 B3 C2 D25.已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（ ）A. B. 或C. D. 或6.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ABC的面积为，则A. B. C
2、. D. 7.在ABC中，A=60，b=1， 求=（ ）A. B. C. 2D. 8如图所示，半圆的直径AB2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是（ ）A. B. C D 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）A. 若复数（i为虚数单位），则B. 若复数z满足，则C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆10.已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）A. B. 若
3、且，则C. 两个非零向量，若，则与共线且反向D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是11对于ABC，有如下判断，其中正确的判断是()A若cos Acos B，则ABC为等腰三角形B若AB，则sin Asin BC若a8，c10，B60，则符合条件的ABC有两个D若sin2Asin2Bsin2C，则ABC是钝角三角形12.已知在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是( )A. 或B. C. D. 该三角形的面积为三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知复数，则_.14.已知向量满足,向量是与同向的单位向量,则向量在向量上的投影向量为_.
4、 15.如图，在ABC中，D是AC边上的点，且ABADBD，BC2BD，则sin C的值是_16.数书九章卷五中第二题，原文如下：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？答曰：田积三百一十五顷.术曰：以少广求之，以小斜幂（c2）并大斜幂（a2），减中斜幂（b2），并半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，以四约之，为实：以为从偶，开平方，得积（S）.译成现代式子是这个式子称为秦九韶三斜求积公式；已知三角形的三边分别为5，6，7时，则面积为_，最小角的余弦值为_.（第一空3分，第二空2分）四、解答题(本大题共6小题，17题10分，1822题每题
5、12分，共70分)17(10分)已知z为复数，z2i和均为实数，其中i是虚数单位(1)求复数z和|z|；(2)若z1i在第四象限，求m的取值范围18.（12分）已知向量，.（1）若，其中，求的坐标；（2）若与的夹角为，求的值.19.（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求的值；（2）若，求ABC的周长.20.（12分）已知：ABC中，满足.（）求角的大小；（）若，求ABC面积的最大值.21.（12分）在，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足 ，（1）若，求ABC的面积；（2）求的取值范围.22
6、(本小题满分12分)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 n mile，与小岛D相距为3 n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且sin A.(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；(2)记小岛D对小岛B与C的视角为，小岛B对小岛C与D的视角为，求sin(2)的值高一年级下学期第一次考试数学试题答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1B 2.A 3.A 4.B 5.D 6. C 7.D 8.C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.A
7、D 10.AC 11.ABD 12.BC 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. 6 四、解答题(本大题共6小题，17题10分，1822题每题12分 ，共70分)17(10分) 解(1)设zabi(a，bR)，则b20，b2.1分又i，则0，解得a4，所以z42i，.4分|z|2. 5分(2)由题意得，z14i，且7分解得2m 或1m.9分故m的取值范围为.10分18.（12分）（1）由题知，解得，故； 6分（2）， 12分19.(12分)（1）由正弦定理，得.，即又，.5分（2）6分 7分由余弦定理，得即解得. 11分ABC的周长为.12分20.（1
8、2分）解：（）因为， 所以，由正弦定理，得.整理得.所以.在中，. 所以，；6分（）由余弦定理，所以，所以，当且仅当时取“=” 10分所以三角形的面积.所以三角形面积的最大值为.12分21.（12分）解：若选，由题意，化简得即，3分（1）由余弦定理，得， 解得6分（2）由正弦定理又因为，8分所以，因为12分若选，由，得，化简得得， 得.以下与选同.若选，由得，即化简得， 得.以下与选同.22（12分）解(1)sin A，且角A为钝角，cos A.1分在ABD中，由余弦定理得：AD2AB22ADABcos ABD2.AD2522AD5(3)2AD28AD200.解得AD2或AD10(舍)3分小岛
9、A与小岛D之间的距离为2 n mile.A，B，C，D四点共圆，角A与角C互补sin C，cos Ccos(180A)cos A.4分在BDC中，由余弦定理得：CD2CB22CDCBcos CBD2，CD2522CD5(3)2CD28CD200，解得CD2(舍)或CD10.5分S四边形ABCDSABDSBCDABADsin ACBCDsin C5251031518.四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile.6分(2)在BDC中，由正弦定理得：sin .DC2DB2BC2，为锐角，cos .8分又sin()sin(180C)sin C，cos()cos(180C)cos C.10分sin(2)sin()sin cos()cos sin(). 12分
