1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础对点练1已知圆的方程是x2y21，则在y轴上截距为的切线方程为()Ayx ByxCyx或yx Dx1或yx解析：由题意知切线斜率存在，故设切线方程为ykx，则1，所以k1，故所求切线方程为yx或yx.答案：C2过点(1，1)的直线与圆(x2)2(y3)29相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A2 B4C2 D5解析：由圆的几何性质可知，当点(1，1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|224.答案：B3过点P(3，1)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D
2、4xy30解析：如图所示，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)，又kABkPC1，且kPC，所以kAB2.故直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30.答案：A4已知圆C1：x2y22x4y40与圆C2：x2y24x10y250相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为()Axy30 Bxy30Cx3y10 D3xy10解析：由题设可知线段AB的垂直平分线过两圆的圆心C1(1，2)，C2(2，5)，由此可得圆心连线的斜率k1，故由点斜式方程可得y2(x1)，即xy30.答案：A5已知直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点(O为坐标原点)，且AOB为等腰直角三角形，则实数a
3、的值为()A或 B或C D解析：因为直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点(O为坐标原点)，且AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得1，所以a.答案：B6(2021江苏常州八校联考)若圆C1：x2y2m2(m0)内切于圆C2：x2y26x8y110，则m_解析：由x2y2m2(m0)，得圆心C1(0，0)，半径r1m.圆C2的方程化为(x3)2(y4)236，则圆心C2(3，4)，半径r26，圆C1内切于圆C2，|C1C2|6m.又|C1C2|5，m1.答案：17已知过点P(t，0)(t0)的直线l被圆C：x2y22x4y40截得弦AB长为4.若
4、直线l唯一，则该直线的方程为_解析：将圆C的方程化为标准方程(x1)2(y2)29，圆心C(1，2)，半径r3.又由题意可知，圆心C到直线l的距离为，所有满足题意的直线l为圆D：(x1)2(y2)25的切线又直线l唯一，点P在圆D上(t1)245.t2或t0(舍去).该切线方程为(21)(x1)(y2)(02)5，即直线l的方程为x2y20.答案：x2y208圆x2y22y30被直线xyk0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为13，求k.解析：由题意知，圆的标准方程为x2(y1)24.较短弧所对圆心角是90，所以圆心(0，1)到直线xyk0的距离为r.即，解得k1或3.9求经过点M(3，1
5、)且与圆C：x2y22x6y50相切于点N(1，2)的圆的方程解析：圆C的方程可化为标准方程(x1)2(y3)25，圆心为(1，3).由M，N可求出MN的中垂线方程为yx，圆心C和N所在直线方程为yx，联立解得圆心坐标为，半径为 ，则圆的方程为.B组素养提升练1一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析：由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光
6、线与圆相切，则有d1，解得k或k.答案：D2(2021福建泉州质检)已知A，B是圆O1：x2y22x0与圆O2：x2y22x4y0的公共点，则O1AB与O2AB的面积的比值为_解析：两个圆的方程相减，得4x4y0，即xy0，所以直线AB的方程为xy0.圆O1的方程化为(x1)2y21，所以O1(1，0)，半径r11，所以圆心O1到直线AB的距离d1，所以|AB|22，所以SO1ABd1|AB|.圆O2的方程化为(x1)2(y2)25，所以O2(1，2)，半径r2，所以圆心O2到直线AB的距离d2，所以SO2ABd2|AB|.故O1AB与O2AB的面积的比值为.答案：3已知过点A(0，1)且斜率
7、为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解析：(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点，所以1，解得k0恒成立，所以直线l与圆C相交(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).由根与系数的关系可得x1x2，x1x2，故(x1x2)2(x1x2)24x1x24，所以|x1x2|.故|AB|x1x2|2 .由题意知|AB|3，即2 3，解得m1.故所求直线l的方程为xy0或xy20.若存在常数m，使得以AB为直径的圆经过坐标原点，即，所以x1x2y1y20.由知x1x2，x1x2，从而y1y2(mx1m1)(mx2m1)m2x1x2m(m1)(x1x2)(m1)2m2m(m1)(m1)2，所以x1x2y1y20，整理得m2m20.显然1241270，所以方程无解，故不存在这样的实数m，使得以AB为直径的圆经过坐标原点
