1、考点规范练36直接证明与间接证明基础巩固1.要证a2+b2-1-a2b20,只需证明()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-a4+b420C.(a+b)22-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0答案:D解析:在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)0a2+b2-1-a2b20,故选D.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证:b2-ac0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0答案:C解析:b2-ac3ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c
2、)0(a-c)(a-b)0.故选C.3.(2020河南洛阳期中)若P=a+a+5,Q=a+2+a+3(a0),则P,Q的大小关系是()A.PQB.P=QC.PQD.由a的取值确定答案:C解析:P=a+a+5,Q=a+2+a+3(a0),P2=2a+5+2a(a+5)=2a+5+2a2+5a,Q2=2a+5+2(a+2)(a+3)=2a+5+2a2+5a+6.a2+5aa2+5a+6,a2+5aa2+5a+6.P2Q2.P1B.a+b2C.a2+b22D.ab1答案:B解析:若a=12,b=23,则a+b1,但a1,b2,故C推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故D推不出;对于B,若a+b2
3、,则a,b中至少有一个大于1.反证法:假设a1,且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减.若x1+x20,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案:A解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x20,可知x1-x2,即f(x1)f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)b0,m=a-b,n=a-b,则m,n的大小关系是.答案:mn解析:(方法一:取特殊值法)取a=2,b=1,
4、得mb0,所以要得出m与n的大小关系,只需判断mn=a-ba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2aba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2ab-(a-b)与0的大小关系,只需判断2b-2ab与0的大小关系,只需判断b-a与0的大小关系.由ab0,可知b-a0,即mn1,即可判断mn.8.某同学在证明命题“7-36-2”时作了如下分析,请你补充完整.要证明7-36-2,只需证明,只需证明,展开得9+2149+218,即1418,只需证明1418,所以原不等式7-36-2成立.答案:7+26+3(7+2)2(6+3)2因为1418显然成立解析:要证明7-36-2,只需证明7+26+3,只需证明
5、(7+2)2(6+3)2,展开得9+2149+218,即1418,只需证明1418.因为1418显然成立,所以原不等式7-3b0,m0,用分析法证明:bab0,m0,故要证明bab+ma+m成立,则只需证明b(a+m)a(b+m),即证ab+bmab+am成立,即bmam成立,即ba成立即可.由条件知ba成立,故bab+ma+m成立.(2)反证法:假设结论不成立,即方程x2+ax+b=0与方程x2+cx+d=0都没有实根,则两方程的判别式分别满足1=a2-4b0,2=c2-4d0,则a2+c2-4d-4ba2+c2,即4d+4ba2+c22ac,即2(b+d)ac,这与条件ac2(b+d)矛盾
6、,即假设不成立,故原命题成立.10.已知a0,1b-1a1,求证:1+a11-b.答案：证明由已知1b-1a1及a0可知0b11-b,只需证1+a1-b1,只需证1+a-b-ab1,只需证a-b-ab0,即a-bab1,即1b-1a1,这是已知条件,所以原不等式得证.11.设函数f(x)=1x+2,a,b(0,+).(1)用分析法证明:fab+fba23;(2)设a+b4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于12.答案：证明(1)要证明fab+fba23,只需证明1ab+2+1ba+223,只需证明ba+2b+ab+2a23,即证b2+4ab+a22a2+5ab+2b223,由于a,b
7、(0,+),故即证(a-b)20,这显然成立,所以fab+fba23.(2)假设af(b),bf(a)都小于或等于12,即ab+212,ba+212,因为a,b(0,+),所以2ab+2,2ba+2,两式相加得a+b4,这与a+b4矛盾,所以af(b),bf(a)中至少有一个大于12.能力提升12.(2020湖南长沙模拟)已知a,b,c,d均为正实数,设S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b,则下列判断中正确的是()A.0S1B.1S2C.2S3D.3S0,b0,c0,d0,所以S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+baa+b+c+d+bb+c+d+a+c
8、c+d+a+b+dd+a+b+c=a+b+c+da+b+c+d=1,即S1;因为aa+b+caa+c,cc+d+aca+c,bb+c+dbb+d,dd+a+bdd+b,所以aa+b+c+cc+d+aaa+c+ca+c=1,bb+c+d+dd+a+bbb+d+dd+b=1,即S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b2,所以1S2.13.已知a,b,(0,+),且1a+9b=1,要使得a+b恒成立,则的取值范围是.答案:(0,16解析:a,b(0,+),且1a+9b=1,a+b=(a+b)1a+9b=10+9ab+ba10+29=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立).a+b
9、的最小值为16.要使a+b恒成立,只需16.016.14.在RtABF中,AB=2BF=4,C,E分别是AB,AF的中点(如图).将此三角形沿CE对折,使平面AEC平面BCEF(如图),已知D是AB的中点.图图求证:(1)CD平面AEF;(2)平面AEF平面ABF.答案：证明(1)取AF中点M,连接DM,EM.D,M分别是AB,AF的中点,DM是ABF的中位线,DM12BF.又CE12BF,四边形CDME是平行四边形,CDEM.又EM平面AEF,CD平面AEF,CD平面AEF.(2)由题意知CEAC,CEBC,且ACBC=C,故CE平面ABC.又CD平面ABC,CECD.四边形CDME是矩形.
10、EMMD.在AEF中,EA=EF,M为AF的中点,EMAF,且AFMD=M,AF,MD平面ABF,EM平面ABF.又EM平面AEF,平面AEF平面ABF.高考预测15.德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半即n2;如果n是奇数,则将它乘3加1(即3n+1),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定,现在请你研究:如果对正整数n(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1(注:1可以多次出现),那么n的所有不同值的个数为()A.4B.6C.32D.128答案:B解析:如果正整数n按照上述规则施行变换后的第8项为1,那么变换中的第7项一定是2,变换中的第6项一定是4,变换中的第5项可能是1,也可能是8,变换中的第4项可能是2,也可能是16.当变换中的第4项是2时,变换中的第3项是4,变换中的第2项是1或8,变换中的第1项是2或16;当变换中的第4项是16时,变换中的第3项是32或5,变换中的第2项是64或10,变换中的第1项是128,21或20,3.综上,n的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128共6个.
