1、江苏省常州市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方3所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上，否则答题无效一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案写在答题卷对应栏目）1.已知集合，若，则_【答案】0或3【解析】【分析】由两集合的并集为A，得到B为A的子集，可得出m3或m，即可求出m的值【详解】ABA，BA，m3或m，解得：m0或3或1（舍去）故答案为：0或3【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本
2、题型，注意互异性的检验2.已知的定义域为，则的定义域为_.【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以-1log2x1，所以. 故f(log2x)的定义域为.3.已知函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（1）1，利用函数的单调性可得1x31，解可得x的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，f（x）为奇函数，若f（1）1，则f（1）1，f（x）在（，+）单调递减，且1f（x3）1，即f（1）f（x3）f（1），则有1x31，解可得2x4，即x的取值范围是2，4；故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是
3、将1f（x2）1转化为关于x的不等式4.已知在等差数列中，若，则_【答案】35【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，代入所求的式子化简求值即可【详解】由等差数列的性质得，7a435，故答案为：35【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题5.设是周期为的偶函数，当时，则_【答案】1【解析】【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论【详解】f（x）是周期为1的偶函数，f（）f（4）f（）f（），当0x1时，f（x）4x（1x），f（）4（1），故f（），故答案为：【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转
4、化是解决本题的关键6.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于_【答案】8【解析】【分析】函数图象平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果【详解】f（x）的周期T，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以k，kZ令k1，可得8故答案为：8【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型7.已知为第二象限角，sincos，则cos2_【答案】【解析】sincos，(sincos)2，2sincos，即sin2.为第二象限角
5、且sincos0，2k2k(kZ)，4k20或0，解得c-2或c可得c的取值范围是【点睛】本题考查导数运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题10.已知在正四棱锥中，若，则当该棱锥的体积最大时，它的高为_【答案】【解析】【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值【详解】设底面边长为a，则高h，所以体积Va2h，设y24a4a6，则y96a33a5，当y取最值时，y96a33a50，解得a0或a时，当a,则a时，体积最大，此时h，故答案为：【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函
6、数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题11.若在是减函数，则a的最大值是_.【答案】【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，kZ，得，kZ，取k0，得f（x）的一个减区间为，结合已知条件即可求出a的最大值【详解】解：f（x）cosxsinx（sinxcosx），由，kZ，得，kZ，取k0，得f（x）的一个减区间为，由f（x）在a，a是减函数，得，则a的最大值是故答案为：【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题12.已知，为正实数，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用结合基本不等式求解即可【详解】由题则则则当且
7、仅当即等号成立故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13.已知圆的半径为，若、为该圆的两条切线，其中、为两切点，则的最小值_【答案】【解析】【分析】结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答【详解】如图所示：设OPx（x0），则PAPB，APO，则APB2，sin，|cos2（12sin2）（x24）（1）x212812，当且仅当x2时取“”，故的最小值为812故答案为：【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力
8、14.设函数（且为常数，其中为自然对数的底数），则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可【详解】，故函数为奇函数又 故函数为增函数，等价为 或，解得，故不等式的解集是故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题二、解答题：（本大题共6小题，共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在直三棱柱中，为的中点，为上的一点，且（1）求证：平面；（2）求证：【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得即可证明（2）作CFAB，F为垂足，证
9、明面FCD,能证明DECD【详解】（1）几何体为直三棱柱，四边形为矩形设，则点O为的中点，又，即点E为的中点，又D为中点，在中，由三角形中位线定理得又平面，平面，平面（2）作CFAB，F垂足，因为，故F为中点，则直三棱柱，故面ABC面ABB1 A1，则CF面ABB1 A1，因为ABB1 A1为正方形，故A1B，又，面FCD,故【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养16.如图，在中，为边上的一点，（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得，进而求得，
10、再利用正弦定理求解即可（2）由正弦定理求，利用面积求得，再利用余弦定理和勾股定理求解即可【详解】（1）由，得由，得为锐角，则为钝角，即角B为锐角，由，得则在中，由正弦定理得，即，解得，（2）在中，由正弦定理得，即，解得由的面积为480，得，解得即由余弦定理得，在中，则由勾股定理的逆定理可知，【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题17.已知函数（1）当时，求的极值；（2）若在上是增函数，求的取值范围【答案】（1）的极小值；（2）【解析】试题分析：（1）当时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）在上是增函数，则在上
11、恒成立，从而，对任意的恒成立，即刻求解实数的取值范围试题解析：（1），当时，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值所以是的极小值（2）由（1）知，在上是增函数，对任意的恒成立，即，对任意的恒成立，当时，显然成立，当时，设，即，即，解得：，又，当时，即，对任意的恒成立，即，而当时，解得：，综上所述，实数的取值范围是考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中在上是增函数，转化为，对任意的恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题18.已知和满足
12、，（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式；（3）设，记，证明：【答案】（1）证明见解析（2），（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由，两式相加减即可证明（2）由（1）解方程组得和的通项公式（3）利用错位相减求得，结合数列单调性即可证明【详解】（1）（其中），（其中），由与相加得，即（其中），又，故是以1为首项为公比的等比数列由与相减得，即（其中），又，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列（2）由（1）知，（其中），（其中），得，即，（），（3）（其中），即由上下两式错位相减得即即，也即又，即（其中），又因为函数（其中）为单调递增函数，则，即【点睛】本题考查递推关系求数列
13、通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题19.如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域，其四条边均为道路，其中，千米，千米，千米现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从地出发匀速前往地，其中甲的行驶路线是，速度为千米/小时，乙的行驶路线是，速度为千米/小时（1）若甲、乙两名特训队员到达地的时间相差不超过分钟，求乙的速度的取值范围；（2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是千米若乙先于甲到达地，且乙从地到地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度的取值范围【答案】（1）乙的速度的取值范围为，（单位千米/小时）（2）【解析】【
14、分析】（1）过点B作直线AD的垂线，垂足为E分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可（2）讨论乙运动到AB,BC,CD时，甲、乙之间的距离的平方为的表达式，求函数最值，列不等式求解即可【详解】（1）如图过点B作直线AD的垂线，垂足为E因为四边形ABCD为直角梯形，所以四边形EBCD为矩形，则，又在直角三角形ABE中，即则由题意得，甲从A地出发匀速前往D地所需时间为（小时），乙从A地出发匀速前往D地所需时间为（小时），由题意可知，即，解得，所求乙的速度的取值范围为，（单位千米/小时）（2）设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为千米，由于乙先于甲到达D地，所以，解得，当时，即时，因为，所以当时，
15、取得最大值，且，由题意可得，解得，当时，即时，因为，所以，则当时，取得最大值，且，解得当时，即时，因为，所以， 则函数在区间上单调递减，即当时，取得最大值，且，解得，由同时成立可得，又因为，所以即所求乙的速度v的取值范围为【点睛】本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题20.设函数，函数为的导函数（1）若，都有成立（其中），求的值；（2）证明：当时，；（3）设当时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求导，利用对应项系数相等求即可即可（2）证明等价证明，构造函数求最值即可证明（3）讨论，恒
16、成立，转化为证明，构造函数，求导求最值，证明当时不成立，当时，利用（2）放缩证明h(x)在区间上是单调递减函数即可求解，当时，构造函数，证明不成立即可求解【详解】（1），则因为，即恒成立（其中），则，即，且（2）当时，要证即证，令，则，当时，即在区间上是单调递增函数，当时，即在区间上是单调递减函数，则当时，即当时，也即，所以当时，（3）当，本题无意义，显然不成立，所以不合题意，当时，等价于，由题设，此时有，当时，若，则有，此时不成立，即不成立，所以不合题意，当时，令，则等价于，即当且仅当，又由（1）得，即，代入上式得：，当时，由（2）知，即，则，此时函数h(x)在区间上是单调递减函数，则，即恒成立，此时符合题意，当时，令，则，又，则，即函数在区间上是单调递增函数，即，也即，则当时，有，即函数在区间上是单调递增函数，所以，即，所以不合题意，综上可得，所求实数a取值范围为【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查分类讨论思想，考查放缩法的合理利用，考查转化化归能力，合理构造函数是关键，是难题
