1、32二倍角的三角函数1.了解二倍角公式的推导过程2.理解二倍角公式的意义及变形形式3掌握二倍角公式进行化简、求值及证明1倍角(二倍角)公式(1)二倍角的正弦公式S2：sin 22sin cos (2)二倍角的余弦公式C2：cos 2cos2sin2(3)二倍角的正切公式T2：tan 22倍角公式常用的几个变形S2：sin 2(sin cos )211(sin cos )2C2：cos 22cos2112sin2.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(2)存在角，使得sin 22sin 成立()(3)对于任意的角，cos 22cos 都不成
2、立()解析：(1)错误二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求k(kZ)且k(kZ)，故此说法错误(2)正确当k(kZ)时，sin 22sin .(3)错误当cos 时，cos 22cos .答案：(1)(2)(3)2已知sin ，cos ，则sin 2等于()ABCD答案：D3计算12sin222.5的结果等于()ABCD答案：B4._解析：tan(2150)tan 300tan 60.答案：二倍角公式的应用求下列各式的值：(1)sincos；(2)12sin2750；(3)；(4)cos 20cos 40cos 80.【解】(1)原式.(2)原式cos(2750)
3、cos 1 500cos(436060)cos 60.(3)原式4.(4)原式.注意观察式子的特点及角之间的特殊关系，灵活运用二倍角公式解题，创造条件利用二倍角公式，使问题得解 1.求下列各式的值(1)cos 36cos 72；(2)sin 6sin 42cos 24cos 12.解：(1)原式.(2)原式sin 6cos 48cos 24cos 12.给值求值问题已知，sin ，则sin 2_，cos 2_，tan 2_【解】因为，sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2，cos 212sin212，tan 2.答案：若把本例中的条件“sin ”改为“sin cos ”，求
4、sin 2，cos 2，tan 2的值解：因为sin cos ，所以(sin cos )2，即12sin cos ，所以sin 22sin cos .因为，所以cos 0，所以sin cos 0，所以sin cos ，所以cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin )，所以tan 2.(1)三角函数求值问题常有两种方法一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论(2)注意几种公式的灵活应用，如：sin 2xcoscos2cos2112sin2；cos 2xs
5、insin2sincos. 2.已知sinsin，且，求tan 4的值解：因为sinsincos，则已知条件可化为sincos，即sin，所以sin，所以cos 2.因为，所以2(，2)，从而sin 2，所以tan 22，故tan 4.二倍角公式的综合应用(1)化简：sin2sin2sin2.(2)求证：tan .【解】(1)由倍角公式cos 212sin2，得sin2.于是，原式.(2)证明：左边tan 右边，所以原式成立(1)三角函数式化简的基本原则是化到最简，一般来说，在最后的结果中函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等余弦的二倍角公式能起到升幂作用
6、，即1cos 22cos2，1cos 22sin2，正弦的二倍角公式也能起到升幂的作用， 即1sin 2(sin cos )2.(2)证明恒等式常用的思路是：从一边证到另一边，一般由繁到简；证左边、右边都等于同一个中间结果；比较法(作差、作商法)常用的技巧有：巧用“1”的代换；化切为弦；多项式运算技巧的应用(分解因式)解决此类问题要有整体代换思想 3.(1)若为第三象限角，则_(2)求证：tan 2.解：(1)因为为第三象限角，所以cos 0，sin 0，所以0.故填0.(2)证明：左边tan 2右边1公式的应用条件(1)公式S2，C2中的R.(2)公式T2中的k，k，kZ.2“二倍”的含义倍
7、角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6是3的2倍，3是的2倍这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的3倍角公式的常见变形1sin 2(sin cos )2；cos (k，kZ)；1cos 22cos2；1cos 22sin2.已知是第二象限的角，化简.【解】原式 .因为2k2k(kZ)，所以kk(kZ)当kk(k2n，nZ)时，原式2sin；当kk(k2n1，nZ)时，原式2sin.(1)错因：在去根号时，对sincos，sincos的符号没有讨论，导致化简错误(2)防范：由化简对象，可考虑先用升幂公式将根号里面的式子开出来，去绝对值时必须对角展开
8、讨论1已知sin 3cos ，那么tan 2的值为()A2B2CD解析：选D因为sin 3cos ，所以tan 3，所以tan 2.2已知sin ，则cos(2)_解析：cos(2)cos 22sin2121.答案： 3计算：sin 10cos 20sin 30cos 40_.解析：原式.答案：4已知tan 2，则的值为_解析：因为tan 2，所以7.答案：7学生用书P123(单独成册)A基础达标1已知sin，则cos的值为()ABCD解析：选D因为sin，所以coscos12sin2.2已知sin ，则cos4sin4的值为()ABCD解析：选Dcos4sin4(cos2sin2)(cos2
9、sin2)cos 212sin21.3设3，化简 的结果是()AsinBcosCcosDsin解析：选C因为3，所以cos.4已知cos，则sin(32)()ABCD解析：选A易得cos2cos2121.又coscossin 2，所以sin(32)sin(2)sin 2.故选A5化简cos 28的结果为()ABsin 28C2sin 28Dsin 14cos 28解析：选Acos 28cos 28tan 28cos 28，故选A6已知是第二象限的角，tan(2)，则tan _解析：由tan(2)得tan 2，又tan 2，解得tan 或tan 2，又是第二象限的角，所以tan .答案：7已知t
10、an ，则_解析：tan .答案：8已知sin，则cos的值等于_解析：因为cossinsin，所以cos2cos2121.答案：9已知0x，化简求值：lg lg lg (1sin 2x)解：原式lg(sin xcos x)lg(sin xcos x)lg(1sin 2x)lglg0.10已知sin22sin 2cos cos 21，求sin 及tan 的值解：由题意得sin22sin 2cos 1cos 22cos2，所以2sin2cos2sin cos2cos20.因为，所以cos 0，所以2sin2sin 10，即(2sin 1)(sin 1)0.因为sin 10，所以2sin 10，所
11、以sin .因为0，所以，所以tan .B能力提升1已知tan x2，则tan等于()ABCD解析：选Ctantan.2设acos 6sin 6，b，c，将a，b，c用“”号连接起来为_解析：acos 6sin 6sin 30cos 6cos 30sin 6sin 24，btan 26，c sin 25.因为tan 26，cos 261，所以tan 26sin 26.又因为ysin x在(0，90)上为增函数，所以acb.答案：acb3求函数ysin4x2sin xcos xcos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在0，上的单调递增区间解：ysin4x2sin xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)sin 2xsin 2xcos 2x22sin.故函数的最小正周期T；当且仅当2x2k，kZ，即xk，kZ时，y有最小值2；函数在0，上的单调增区间为和.4(选做题)已知cos，x，求的值解：法一：因为sin 2xsin 2xtan.又因为x，所以x2.而cos0，所以x2，所以sin，所以tan.又因为sin 2xcoscos2cos211.所以原式sin 2xtan.法二：因为x，所以x2.又因为cos0，所以x2，所以sin，所以所以所以所以tan x7，sin 2x2sin xcos x2.由法一知，原式sin 2x.
