1、23.2平面向量的坐标运算第1课时平面向量的坐标运算1.理解平面向量的坐标表示2.掌握平面向量的坐标运算1平面向量的坐标表示(1)建系选基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底(2)定义坐标：对于平面上的一个向量a，由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，则有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)(3)特殊向量的坐标：i(1，0)，j(0，1)，0(0，0)2平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则：ab(x1x2，y1y2)；ab(x1x2，y1y2)；a(x1，y1)(2)重要
2、结论：已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(4)点的坐标与向量的坐标相同()解析：(1)错误对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样(2)正确根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标(3)错误根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关(4)错误只有当向量的始点在坐标原点时
3、，向量的坐标与点的坐标相同答案：(1)(2)(3)(4)2已知A(3，1)，B(2，1)，则的坐标是_解析：(3，1)(2，1)(32，11)(1，2)答案：(1，2)3若a(2，1)，b(1，0)，则3a2b的坐标是_解析：3a2b3(2，1)2(1，0)(6，3)(2，0)(8，3)答案：(8，3)4已知(2，1)，(4，1)，则_解析：(4，1)(2，1)(42，11)(6，2)答案：(6，2)平面向量的坐标表示(1)已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角求点B、点D、与的坐标(2)如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标
4、(1)题图(2)题图【解】(1)由题意知B，D分别是30，120角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos 30，y1sin 30，所以B.x2cos 120，y2sin 120，所以D.所以，.(2)由图形可知，6i2j，2i4j，4i2j，它们的坐标表示为(6，2)，(2，4)，(4，2)求向量坐标的三个步骤1.已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60，求向量的坐标解：设点A(x，y)，则x|cos 604cos 602，y|sin 604sin 606，即A(2，6)，所以(2，6)平面向量的坐标运算已知点A、B、C的坐标分别为A(
5、2，4)、B(0，6)、C(8，10)，求向量2的坐标【解】由A(2，4)，B(0，6)，C(8，10)，得(2，10)，(8，4)，(10，14)，所以2(2，10)2(8，4)(10，14)(2，10)(16，8)(5，7)(18，18)(5，7)(13，11)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两个端点的坐标，则应先求出相应向量的坐标，解题过程中注意正确使用运算法则 2.已知向量a(x3，x23x4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x_解析：易得(2，0)，由a(x3，x23x4)与相等，得解得x1.答案：1向量坐标运算的综合应用已知点O(0，0)，A
6、(1，2)，B(4，5)，及t.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由【解】(1)t(1，2)t(3，3)(13t，23t)若点P在x轴上，则23t0，所以t.若点P在y轴上，则13t0，所以t.若点P在第二象限，则所以t.(2)(1，2)，(33t，33t)若四边形OABP为平行四边形，则，所以该方程组无解故四边形OABP不能为平行四边形向量中含参数问题的求解策略向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变解答这类由参数决定点的位置的题
7、目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的3.(1)已知在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC，BD交于点M，则的坐标是()ABCD(2)已知a(1，2)，b(1，1)，c(3，2)，且有cpaqb，试求实数p，q的值解：(1)选A(5，0)(2，4)(3，4).(2)因为a(1，2)，b(1，1)，所以paqbp(1，2)q(1，1)(pq，2pq)因为cpaqb，所以解得故p，q的值分别为1，4.1对向量正交分解的认识(1)向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特例(2)正交分解的两个基向量互相垂直，构成正交基底2
8、解读平面向量的坐标表示(1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关(2)向量确定后，向量的坐标就被确定了(3)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决3点的坐标与向量的坐标的区别和联系(1)区别意义：点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小和方向，与位置无关；表示形式：如点A(x，y)，向量a(x，y)当平面向量平行移动到时，向量不变，即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化点的坐标不能直接参
9、与线性运算(2)联系向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量a的坐标4相等向量坐标之间的关系由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2且y1y2.已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，(R)，点P在第三象限，则的取值范围为_【解析】设P(x，y)，则(x，y)(2，3)(x2，y3)又因为(5，4)(2，3)(7，10)(2，3)(3，1)(5，7)(35，17
10、)，所以(x2，y3)(35，17)，即解得因为点P在第三象限，所以解得1.【答案】1(1)解答本题，常因混淆向量的坐标与点P的坐标而导致错误，也容易因弄错点P在第三象限应满足的坐标条件而致误(2)当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标相同向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向量的坐标运算是解题的关键1已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab()A(5，7)B(5，9)C(3，7)D(3，9)答案：A2已知点A(1，3)和向量a(3，4)，若2a，则点B的坐标为_解析：2a2(3，4)(6，8)，所以(1，3)(6，8)(7，5)答案：(7，5)3在平
11、面直角坐标系中，|a|2 016，a与x轴非负半轴的夹角为，a始点与原点重合，终点在第一象限，则向量a的坐标是_解析：设a(x，y)，则x2 016cos 1 008，y2 016sin 1 008.故a(1 008，1 008)答案： (1 008，1 008)学生用书P108(单独成册)A基础达标1设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若4i2j，3i4j，则2的坐标是()A(1，2)B(7，6)C(5，0)D(11，8)解析：选D因为(4，2)，(3，4)，所以2(8，4)(3，4)(11，8)2设向量a(1，2)，b(3，5)，c(4，x)，
12、若abc(R)，则x的值为()ABCD解析：选C由已知，可得(1，2)(3，5)(4，x)，所以解得所以x，故选C3已知(2，4)，(2，6)，则等于()A(0，5)B(0，1)C(2，5)D(2，1)解析：选D()(2，6)(2，4)(2，1)4已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为()ABC(3，2)D(1，3)解析：选A设点D(m，n)，则由题意得(4，3)2(m，n2)(2m，2n4)，故解得即点D的坐标为，故选A5已知A(3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC45，设(1)(R)，则的值为()ABCD解析：
13、 选C如图所示，因为AOC45，所以设C(x，x)，则(x，x)又因为A(3，0)，B(0，2)，所以(1)(3，22)，所以.6设向量a，b满足a(1，1)，|b|a|，且b与a的方向相反，则b的坐标为_解析：因为向量a与b的方向相反，且|b|a|，所以ba(1，1)(1，1)答案：(1，1)7已知e1(1，2)，e2(2，3)，a(1，2)，试以e1，e2为基底，将a分解为1e12e2的形式为_解析：设a1e12e2(1，2R)，则(1，2)1(1，2)2(2，3)(122，2132)，所以解得所以ae1e2.答案：ae1e28已知向量(3，4)，将其向左平移一个单位，再向上平移一个单位后
14、，所得向量的坐标为_解析：因为向量的平移不改变向量的大小，故向量的坐标不发生变化答案：(3，4)9已知a(2，4)，b(1，3)，c(6，5)，pa2bc.(1)求p的坐标；(2)若以a，b为基底，求p的表达式解：(1)p(2，4)2(1，3)(6，5)(6，3)(2)设pab(，R)，则(6，3)(2，4)(1，3)(2，43)，所以所以所以pa15b.10已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点解：如图，(1)当平行四边形为ABCD1时，设顶点D1的坐标为(x1，y1)，因为(1(2)，31)(1，2)，(3x1，4
15、y1)，所以由，得(1，2)(3x1，4y1)，即所以所以顶点D1的坐标为(2，2)(2)当平行四边形为ACD2B时，设顶点D2的坐标为(x2，y2)，因为(5，3)，(x21，y23)，由，得(5，3)(x21，y23)，所以所以所以顶点D2的坐标为(4，6)(3)当平行四边形为D3ACB时，设顶点D3的坐标为(x3，y3)，因为(5，3)，(1x3，3y3)，由，得(5，3)(1x3，3y3)，所以所以所以顶点D3的坐标为(6，0)综上，D点坐标为(2，2)或(4，6)或(6，0)B能力提升1对于向量m(x1，y1)，n(x2，y2)，定义mn(x1x2，y1y2)已知a(2，4)，且ab
16、ab，那么向量b等于()ABCD解析：选A设b(x，y)，由新定义及abab，可得(2x，y4)(2x，4y)，所以2x2x，y44y，解得x2，y，所以向量b.2向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)由cab，即(1，3)(1，1)(6，2)，得61，23，故2，则4.答案：43已知向量(4，3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足(R)，求y与的值解
17、：(1)设B(x1，y1)因为(4，3)，A(1，2)，所以(x11，y12)(4，3)，所以解得所以B(3，1)同理可得D(4，3)设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2，y21，所以M.(2)因为(3，1)(2，y)(1，1y)，(4，3)(3，1)(7，4)，所以(1，1y)(7，4)，所以解得4(选做题)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)(1)若0，求的坐标；(2)若mn(m，nR)，且点P在函数yx1的图象上，试求mn.解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为0，又(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)所以解得所以点P的坐标为(2，2)，故(2，2)(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)所以(2，3)(1，1)(1，2)，(3，2)(1，1)(2，1)，因为mn，所以(x0，y0)m(1，2)n(2，1)(m2n，2mn)，所以两式相减得mny0x0，又因为点P在函数yx1的图象上，所以y0x01，所以mn1.
