1、3.2复数的四则运算第1课时复数的加减与乘法运算学 习 目 标核 心 素 养1掌握复数代数形式的加减运算(重点)2理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算(重点、难点)3掌握共轭复数的概念及应用(易错点)通过复数的加减、乘法运算，提升数学运算、逻辑推理素养.1复数的加减法(1)复数的加法、减法法则条件：z1abi，z2cdi(其中a，b，c，d均为实数)加法法则：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i，减法法则：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)运算律交换律：z1z2z2z1.结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)2复数的乘法与共轭复数(1)复数的乘法复数的乘法
2、法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.乘法运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3(2)共轭复数定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数复数zabi的共轭复数记作，即abi.关系：若z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1，z2互为共轭复数ac且bd.当复数zabi的虚部b0时，z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身思考：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不
3、同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并1已知复数z134i，z234i，则z1z2 ()A8iB6C68iD68iBz1z234i34i(33)(44)i6.2复数(32i)i等于()A23iB23iC23iD23iB(32i)i3i2ii23i，选B.3若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为_0z22(1i)2(1i)20，z22的虚部为0.4设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_.1(1i)(ai)a1(a1)i.其对应点在实轴上，a10，即a1.复数的加、减法运算【例1】(1)(2i)_.(2)已知复数z满足z13i5
4、2i，求z.(3)已知复数z满足|z|z13i，求z.(1)1i(2i)i1i.(2)解法一：设zxyi(x，yR)，因为z13i52i，所以xyi(13i)52i，即x15且y32，解得x4，y1，所以z4i.法二：因为z13i52i，所以z(52i)(13i)4i.(3)解设zxyi(x，yR)，则|z|，又|z|z13i，所以xyi13i，由复数相等得解得所以z43i.1复数加、减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项2当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设zabi(a，bR)1复数z满足z(1
5、i)2i，则z等于_1iz(1i)2i，z1i2i1i.复数的乘法运算【例2】(1)已知a，bR，i是虚数单位若ai2bi，则(abi)2_.(2)复数(32i)i_.思路探究(1)结合复数相等分别求出a，b的值，然后再做复数的乘法运算或直接运用完全平方公式进行运算(2)直接运用分配律进行乘法运算(1)34i(2)23i(1)ai2bi，a2，b1，(abi)2(2i)22222ii234i.(2)(32i)i3i2i223i.1两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i2换成1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式2常用公式(1)(abi)2a22abib2(a
6、，bR)；(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(3)(1i)22i.2若|z1|5，z234i，且z1z2是纯虚数，则z1_.43i或43i设z1abi(a，bR)，则|z1|5，即a2b225，z1z2(abi)(34i)(3a4b)(3b4a)i.z1z2是纯虚数，解得或z143i或z143i.共轭复数的应用探究问题1两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？提示若zabi(a，bR)，则abi，则z2aR.因此，和一定是实数；而z2bi.当b0时，两共轭复数的差是实数，而当b0时，两共轭复数的差是纯虚数2若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什
7、么关系？提示|z1|z2|.【例3】已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.思路探究设zabi(a，bR)，则abi，代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解解设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.共轭复数的处理技巧当已知条件出现共轭复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解3已知复数z1i，复数z的共轭复数1i，求实数a，b使az2b(a2z)2.解因为z1i，1i，所以az2b(a2b)(a2b)i，(a2z)2
8、(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.由a，bR，及复数相等的充要条件，得解得或1本节课的重点是复数的加、减、乘法运算，乘法运算按多项式乘法展开后，注意i21.2本节课的易错点是共轭复数及其应用，注意zbia的共轭复数是bia，不是bia.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件()(2)若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数()答案(1)(2)(3)2. a，b为实数，设z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为()A1iB2iC3D2iDz12bi，z2ai，z1z22bi(ai)0，所以a2，b1，即abi2i.3已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，则z2_.42i(z12)(1i)1i，z12i，设z2a2i，aR，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i，z1z2R，a4，z242i.4计算：(1)(1i)(1i)；(2)(2i)2.解(1)法一：(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.法二：原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)(2i)2(2i)(2i)44ii234i.
