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2019-2020学年苏教版数学选修2-2讲义:第3章 3-2 第1课时 复数的加减与乘法运算 WORD版含答案.doc

1、3.2复数的四则运算第1课时复数的加减与乘法运算学 习 目 标核 心 素 养1掌握复数代数形式的加减运算(重点)2理解复数乘法运算法则,能进行复数的乘法运算(重点、难点)3掌握共轭复数的概念及应用(易错点)通过复数的加减、乘法运算,提升数学运算、逻辑推理素养.1复数的加减法(1)复数的加法、减法法则条件:z1abi,z2cdi(其中a,b,c,d均为实数)加法法则:z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i,减法法则:z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)运算律交换律:z1z2z2z1.结合律:(z1z2)z3z1(z2z3)2复数的乘法与共轭复数(1)复数的乘法复数的乘法

2、法则设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.乘法运算律对于任意z1,z2,z3C,有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3(2)共轭复数定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数复数zabi的共轭复数记作,即abi.关系:若z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则z1,z2互为共轭复数ac且bd.当复数zabi的虚部b0时,z,也就是说实数的共轭复数仍是它本身思考:复数的乘法与多项式的乘法有何不同?提示复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不

3、同即必须在所得结果中把i2换成1,再把实部、虚部分别合并1已知复数z134i,z234i,则z1z2 ()A8iB6C68iD68iBz1z234i34i(33)(44)i6.2复数(32i)i等于()A23iB23iC23iD23iB(32i)i3i2ii23i,选B.3若复数z1i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z22的虚部为_0z22(1i)2(1i)20,z22的虚部为0.4设aR,若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上,则a_.1(1i)(ai)a1(a1)i.其对应点在实轴上,a10,即a1.复数的加、减法运算【例1】(1)(2i)_.(2)已知复数z满足z13i5

4、2i,求z.(3)已知复数z满足|z|z13i,求z.(1)1i(2i)i1i.(2)解法一:设zxyi(x,yR),因为z13i52i,所以xyi(13i)52i,即x15且y32,解得x4,y1,所以z4i.法二:因为z13i52i,所以z(52i)(13i)4i.(3)解设zxyi(x,yR),则|z|,又|z|z13i,所以xyi13i,由复数相等得解得所以z43i.1复数加、减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减(2)把i看作一个字母,类比多项式加、减中的合并同类项2当一个等式中同时含有|z|与z时,一般要用待定系数法,设zabi(a,bR)1复数z满足z(1

5、i)2i,则z等于_1iz(1i)2i,z1i2i1i.复数的乘法运算【例2】(1)已知a,bR,i是虚数单位若ai2bi,则(abi)2_.(2)复数(32i)i_.思路探究(1)结合复数相等分别求出a,b的值,然后再做复数的乘法运算或直接运用完全平方公式进行运算(2)直接运用分配律进行乘法运算(1)34i(2)23i(1)ai2bi,a2,b1,(abi)2(2i)22222ii234i.(2)(32i)i3i2i223i.1两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开;再将i2换成1;然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式2常用公式(1)(abi)2a22abib2(a

6、,bR);(2)(abi)(abi)a2b2(a,bR);(3)(1i)22i.2若|z1|5,z234i,且z1z2是纯虚数,则z1_.43i或43i设z1abi(a,bR),则|z1|5,即a2b225,z1z2(abi)(34i)(3a4b)(3b4a)i.z1z2是纯虚数,解得或z143i或z143i.共轭复数的应用探究问题1两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚数吗?提示若zabi(a,bR),则abi,则z2aR.因此,和一定是实数;而z2bi.当b0时,两共轭复数的差是实数,而当b0时,两共轭复数的差是纯虚数2若z1与z2是共轭复数,则|z1|与|z2|之间有什

7、么关系?提示|z1|z2|.【例3】已知zC,为z的共轭复数,若z3i13i,求z.思路探究设zabi(a,bR),则abi,代入所给等式,利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解解设zabi(a,bR),则abi(a,bR),由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i,即a2b23b3ai13i,则有解得或所以z1或z13i.共轭复数的处理技巧当已知条件出现共轭复数等式时,常设出复数的代数形式,利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解3已知复数z1i,复数z的共轭复数1i,求实数a,b使az2b(a2z)2.解因为z1i,1i,所以az2b(a2b)(a2b)i,(a2z)2

8、(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.由a,bR,及复数相等的充要条件,得解得或1本节课的重点是复数的加、减、乘法运算,乘法运算按多项式乘法展开后,注意i21.2本节课的易错点是共轭复数及其应用,注意zbia的共轭复数是bia,不是bia.1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件()(2)若z1,z2C,且zz0,则z1z20.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数()答案(1)(2)(3)2. a,b为实数,设z12bi,z2ai,当z1z20时,复数abi为()A1iB2iC3D2iDz12bi,z2ai,z1z22bi(ai)0,所以a2,b1,即abi2i.3已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,则z2_.42i(z12)(1i)1i,z12i,设z2a2i,aR,则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i,z1z2R,a4,z242i.4计算:(1)(1i)(1i);(2)(2i)2.解(1)法一:(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.法二:原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)(2i)2(2i)(2i)44ii234i.

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