1、2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性第1课时单调性1.了解函数单调性的实际背景2.理解函数单调性及几何意义3.掌握判断或证明函数单调性的方法 学生用书P24单调增(减)函数、单调增(减)区间一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA.(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的单调增区间(2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间(3)如果函数yf(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就
2、说函数yf(x)在区间I上具有单调性单调增区间和单调减区间统称为单调区间1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(2)已知函数f(x)为R上的减函数，则f(3)f(3)()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()答案：(1)(2)(3)2下列函数中，在区间(0，)上是减函数的是()AyByxCyx2 Dy1x答案：D3若y(2k1)xb是R上的减函数，则有()Ak BkCk Dk答案：C4函数f(x)x22x1的单调递减区间是_答案：(，1求函数的单调区间学生用书P25画出函数yx22|x|3的图象，并指出函数的
3、单调区间【解】yx22|x|3函数图象如图所示函数在(，1，0，1上是增函数，函数在1，0，1，)上是减函数所以函数的单调增区间是(，1和0，1，单调减区间是1，0和1，)(1)利用函数图象确定函数的单调区间，具体作法是先化简函数式，然后再画出它的图象，最后根据函数定义域和图象的形状，确定函数的单调区间(2)一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“”而应该用“和”来表示(3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集 1.(1)如图所示为函数yf(x)，x4，7的图象，则函数f(x)的单调递增区间是_(2)求函数y|x22x3|的单调区间解：(1)由图象知单调递增区间为1
4、.5，3和5，6故填1.5，3和5，6(2)y|x22x3|的图象如图所示，由图象可得其单调递增区间是1，1，3，)；单调递减区间是(，1，1，3定义法判断或证明函数的单调性学生用书P25证明：函数f(x)2x24x在(，1上是单调减函数.【证明】任取x1，x2(，1，且x1x21，则f(x1)f(x2)(2x4x1)(2x4x2)2(xx)4(x1x2)2(x1x2)(x1x22)因为x1x21，所以x1x20，x1x220，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(，1上是单调减函数利用定义证明函数单调性的步骤 2.证明函数f(x)x在(2，)上是增函数证明：任取x1，x2(2，)，且x
5、1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).因为2x1x2，所以x1x20，x1x24，x1x240，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)x在(2，)上是增函数利用函数的单调性求参数的取值范围学生用书P26已知函数f(x)x22(1a)x2在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围【解】因为f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，所以f(x)的减区间是(，1a因为f(x)在(，4上是减函数，所以对称轴x1a必须在直线x4的右侧或与其重合所以1a4，解得a3.本例中，若将“函数在区间(，4上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(，4”，则a为何
6、值？解：由本例知函数f(x)的单调递减区间为(，1a，所以1a4，a3. (1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数 (2)应用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)或方程，解不等式(组)或方程可求得参数的取值范围3.已知函数f(x)x22ax3在区间1，2上具有单调性，求实数a的取值范围解：函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1，2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，)1x1
7、，x2的三个特征(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换；(2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1x2；(3)同属一个单调区间2理解函数的单调性应注意的问题(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接如函数y在(，0)和(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y在(，0)(0，)上单调递减已知f(x)是定义在区间1，1上的增函数，且f(x2)f(1
8、x)，则x的取值范围为_解析由题意，得解得1x2.因为f(x)是定义在区间1，1上的增函数，且f(x2)f(1x)，所以x21x，解得x.由得1x.答案(1)本题易忽视函数的定义域为1，1，直接利用单调性得到不等式x21x，从而得出x的错误答案(2)解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式若函数yf(x)在区间D上是增函数，则对任意x1，x2D，且f(x1)f(x2)，有x1x2；若函数yf(x)在区间D上是减函数，则对任意x1，x2D，且f(x1)f(x2)，有x1x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域.1设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间
9、，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定解析：选D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定2已知函数f(x)在R上是减函数，A(0，2)，B(3，2)是其图象上的两点，那么不等式2f(x)2的解集为_解析：因为A(0，2)，B(3，2)在函数yf(x)的图象上，所以f(0)2，f(3)2，故2f(x)2可化为f(0)f(x)f(3)，又f(x)
10、在R上是减函数，因此3x0.答案：(3，0)3作出函数f(x)的图象，并指出函数f(x)的单调性解：f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的单调递减区间为(，1和(1，2)，单调递增区间为2，)学生用书P93(单独成册)A基础达标1如图是定义在区间5，5上的函数yf(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1，4上单调递增C函数在区间3，14，5上单调递减D函数在区间5，5上没有单调性解析：选C.若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接故选C.2下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()Ay3xByx21Cy Dy|x1
11、|解析：选B.y3x，y，y|x1|在(0，2)上都是减函数，只有yx21在(0，2)上是增函数3函数y|x2|在区间3，0上()A递减 B递增C先减后增 D先增后减解析：选C.y|x2|作出y|x2|的图象，如图所示，易知在3，2)上为减函数，在2，0上为增函数4已知函数yax和y在(0，)上都是减函数，则函数f(x)bxa在R上是()A减函数且f(0)0 B增函数且f(0)0 D增函数且f(0)0解析：选A.因为yax和y在(0，)上都是减函数，所以a0，b0，则f(x)bxa在R上为减函数且f(0)a0，则f(3)与f()的大小关系是_解析：由(x1x2)f(x1)f(x2)0，可知函数
12、f(x)为增函数，又因为3，所以f(3)f()答案：f(3)f()8若函数f(x)|(x1)(xa)|(a1)的一个单调递增区间是3，)，则a_解析：f(x)其图象如图所示它的单调递增区间为和a，)所以a，)3，)，所以a3.答案：39证明：函数f(x)在定义域上是单调减函数证明：易知f(x)的定义域为0，)设x1，x2是0，)内的任意两个实数，且x1x2，则f(x2)f(x1)() .因为x1x20，所以f(x2)f(x1)f(x2)，所以f(x)在0，)上是单调减函数10已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(xd)f(x)，求满足f(1a)f(2a1)的a的取值范围解：令
13、x1，x2R，且x1x2，则x2x10.因为对任意的正数d，都有f(xd)f(x)，所以f(x2)fx1(x2x1)f(x1)所以函数yf(x)是减函数又因为f(1a)f(2a1)，所以1a2a1，解得a.所以a的取值范围是.B能力提升1下列函数中，满足“对任意x1，x2(0，)，都有0”的是_(填序号)f(x)；f(x)3x1；f(x)x24x3; f(x)x.解析：由题意f(x)在(0，)上为增函数，函数f(x)及f(x)3x1在(0，)上都为减函数，函数f(x)x在(0，1)上递减，在(1，)上递增，函数f(x)x24x3在(，2)上递减，在(2，)上递增，故在(0，)上也为增函数满足条
14、件的只有.答案：2若定义在R上的二次函数f(x)ax24axb在区间0，2上是增函数，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是_解析：由于f(x)在区间0，2上是增函数，所以f(2)f(0)，解得a0，f(3)1.判断g(x)f(x)在(0，3上是增函数还是减函数，并加以证明解：函数g(x)在(0，3上是减函数证明如下：任取x1，x2(0，3，且x1x2，则g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2).因为f(x)在(0，)上是增函数，所以f(x1)f(x2)0，f(3)1，所以0f(x1)f(x2)f(3)1.所以0f(x1)f(x2)1，10，所以函数g(x)f(x)在(0，3上是减函数
