1、章末复习提升课1空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.(2)重要结论ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30.2空间向量的运算与线面位置关系的判定(1)设直线l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则luvuv0a1a2b1b2c1c20，luvukv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR)(2)设直线l，m的方
2、向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0.1正确理解数量积的概念和运算性质(1)abac(a0)的本质是向量b，c在向量a方向上的投影相等，b与c不一定相等(2)求两个向量的夹角是求数量积的关键，也是易错点，如等边三角形ABC中，与的夹角为120而不是60.(3)两个非零向量a和b的夹角是锐角(或钝角)的充要条件是ab0(或0)且a与b不同向(或反向)2弄清立体几何中的“空间角”与向量“夹角”的联系与区别(1)利用直线的方向向量求异面直线所成的角，若方向向量的夹角是锐角或直角，则可直接
3、将该结果作为所求角，若方向向量的夹角是钝角，则应将钝角的补角作为所求的角(2)利用直线的方向向量和平面的法向量求线面角，若两个向量的夹角是锐角，则该锐角的余角为所求的线面角，若两个向量夹角是钝角，则该钝角减去90为所求的线面角(3)利用平面的法向量求二面角时，若法向量的夹角与二面角的平面角同为锐角或钝角，则法向量的夹角就是所求的二面角，否则法向量的夹角的补角才是所求的二面角空间向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量
4、做新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求(1)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若xy()，则x_，y_(2)空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设a，b，c，试用向量a，b，c表示向量.解(1)由题知()，从而有x1，y.故填1和.(2)取BC中点D，连结AD、OD，则G、H分别在AD、OD上所以()，又，而，所以()a(bc)a(abc)，又因为()(bc)，所以(bc)(abc)a.共线向量、共面向量利用空间向量的共线定理、共面定理可以解决立体几何中的线线、线面、面面平行问题，及三点共线、四点共面的问题已知四点A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2
5、，3)，D(10，14，17)，求证：四点A、B、C、D在同一平面上证明因为A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2，3)，D(10，14，17)，所以(3，4，5)，(1，2，2)，(9，14，16)设xy，则，解之得，所以23，所以，共面，即四点A，B，C，D在同一平面上用向量法解决平行与垂直问题用向量法解决平行与垂直问题，可以不添加辅助线，不作辅助面，将几何问题代数化，能很方便地解决问题，不过要注意直线的方向向量与平面的法向量的求法如图所示，已知PA平面ABCD，ABCD为矩形，PAAD，M，N分别为AB，PC的中点求证：(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC.证明(1)
6、法一：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PAADa，ABb，则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)，因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M，N.所以，(0，0，a)，(0，a，0)，所以.又因为MN平面PAD，所以MN平面PAD.法二：易知为平面PAD的一个法向量(b，0，0)，又，所以0，所以.又MN平面PAD，所以MN平面PAD.(2)由(1)可知：P(0，0，a)，C(b，a，0)，M，D(0，a，0)所以(b，a，a)，(0，a，a)设平面PMC的一个法向量为n1(
7、x1，y1，z1)，则所以令z1b，则n1(2a，b，b)设平面PDC的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以令z21，则n2(0，1，1)因为n1n20bb0，所以n1n2.所以平面PMC平面PDC.利用空间向量求空间角角这一几何量在本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想非常重要，三种空间角都可以化为平面角来计算，因此可进一步转化为空间向量的夹角求解(1)若两条异面直线的方向向量分别为a，b，所成角为，则cos |cosa，b|.(2)直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，直线与平面所成角为，则sin |cosu，n|.(3)二面角的平面角为，两个半平面的法向量分别为
8、n1，n2，则n1，n2或n1，n2，根据情况确定已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值；(3)二面角C1DBB1的正切值解建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E，F，D(1，1，1)(1)因为(0，1，1)，所以cos，即AD1与EF所成的角为60.(2)由图可得(1，0，0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为，则sin cos，所以cos .(3)设平面D1DBB1的一个法向量n1
9、(x，y，z)，因为(1，1，0)，(0，0，1)，由n1，n1，得令y1，则n1(1，1，0)；同理可得平面C1DB的一个法向量n2(1，1，1)，则cosn1，n2，tann1，n2.即二面角C1DBB1的正切值为.1已知正方体ABCDA1B1C1D1，如图所示，E为上底面A1C1的中心，若xy，则x，y的值分别为()Axy1Bx1，yCxy Dx，y1解析：选C.由向量的三角形运算法则知.而，又，所以，所以，所以xy.2如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A.不妨设CACC12CB2
10、，则A(2，0，0)，B(0，0，1)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，所以(2，2，1)，(0，2，1)，从而cos，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.3.如图所示，已知线段AB，BD在平面内，BDAB，线段AC，如果ABa，BDb，ACc，则C，D间的距离为_解析：因为，所以|2()2222222.因为CAAB，CABD，ABBD，所以|2222202020a2b2c2，所以|.答案：4.如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD2，POAD，O为BC的中点(1)求证：PO底面ABCD；(2)求二面角PADB的余弦值解：(1)证明：因为
11、PBPCBC，O为BC中点，所以POBC.又因为POAD，而ABCD是直角梯形，从而BC与AD相交，所以PO底面ABCD.(2)如图，以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为PBPCBC2，且PO底面ABCD，所以平面ABCD的法向量为(0，0，)因为A(1，2，0)，D(1，1，0)，P(0，0，)，所以(2，1，0)，(1，2，)设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得令x11，则y12，z1，即n1(1，2，)，所以cosn1，.所以二面角PADB的余弦值为.5.如图，在圆锥PO中，已知PO，O的直径A
12、B2，C是的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值解：(1)如图所示，连结OC，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，)，D.所以，(0，0，)，(1，0，)，(0，1，)设n1(x1，y1，z1)是平面POD的法向量，则由，得，即，取y11，可得平面POD的一个法向量为n1(1，1，0)设n2(x2，y2，z2)是平面PAC的法向量，则由，得，即，取z21，可得平面PAC的一个法向量为n2(，1)因为n1n2(1，1，0)(，1)0，所以n1n2，从而平面POD平面PAC.(2)显然平面PAB的一个法向量为n3(0，1，0)由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2(，1)设向量n2和n3的夹角为，则cos .由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为.
