1、第12讲 空间几何体 第13讲 点、直线、平面之间的位置关系 第14讲 空间向量与立体几何 专题四 立体几何 专题四 立体几何 知识网络构建专题四 知识网络构建 考情分析预测专题四 考情分析预测 考向预测理科的立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上
2、都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题专题四 考情分析预测 预测2012年高考的可能情况是：(1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算
3、以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等(2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角专题四 考情分析预测 (1)空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法(2)空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的
4、判定和性质在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法(3)空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练备考策略专题四 考情分析预测 第12讲 空间几何体 第12讲 空间几何体 主干知识整合第12讲 主干知识整合 1空间几何体的三视图(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图几何体的正视
5、图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图第12讲 主干知识整合 2斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 Ox，Oy，建立直角坐标系；(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox，Oy，使xOy45(或 135)，它们确定的平面表示水平平面；(3)画对应图形，在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中画成平行于 x轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于 y轴，且长度变为原来的一半；(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去 x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线(虚线)3基本面积公式4空间几何体的体
6、积计算公式 要点热点探究第12讲 要点热点探究 探究点一 三视图与直观图 例 1 2011课标全国卷 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图 121 所示，则相应的侧视图可以为()图 121 图 122第12讲 要点热点探究 D【解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选 D.【点评】本题考查空间几何体的三视图，试题要求根据空间几何体的两个视图判断其第三个视图，这种情况下第三个视图就可能有多种情况，这就要根据选项提供的视图确定其可能的情况，对考生的空间想象能力有较高的要求解答这类试题就是选择合理的图形第12讲 要点热点探究 (1)2011山
7、东卷 如图 123 是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图123；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图 123；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图 123.其中真命题的个数是()图 123A3B2C1D0 第12讲 要点热点探究 （2）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A.12 22B1 22C1 2D2 2 第12讲 要点热点探究 (1)A(2)D【解析】(1)可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断正确；可以是放倒的圆柱，所以也正确(2)如图，设直观图为 OABC，建
8、立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中，OCOA，且 OC2，BC1，OA12 22 1 2，故其面积为1211 2 22 2.第12讲 要点热点探究 例2(1)2011安徽卷 一个空间几何体的三视图如图124所示，则该几何体的表面积为()图 124A48 B328 17C488 17D80 探究点二 空间几何体的表面积和体积第12讲 要点热点探究(2)2011湖南卷 设图 125 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()图 125A9212B9218C942D3618 第12讲 要点热点探究(1)C(2)B【解析】(1)由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒
9、的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为 S212(24)444242 1164488 17.(2)由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为 3 的球，下面是一个长、宽都为 3、高为 2 的长方体所构成的几何体，则其体积为：VV1V2433233329218，故选 B.第12讲 要点热点探究【点评】我们常见的柱体一般是把底面放在水平面上，锥体也往往是把底面放在水平面上，但是柱体和锥体也可以把其侧面或者一条母线放在水平面上，也可以以其他各种可能的方式放置在空间，这时其三视图就会出现各种可能，在根据空间几何体的三视图还原空间几何体的形状时，要克服思维定势 第12讲 要点热点探究 (1)如
10、图 126 为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为()图 126A14 3 B6 3C122 3 D162 3 第12讲 要点热点探究 (2)一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图 127，则该多面体的体积为()图 127A48 cm3B24 cm3C32 cm3D28 cm3 第12讲 要点热点探究(1)C(2)A【解析】(1)根据三视图可知这个空间几何体是一个三棱柱，其高为 2、底面边长也为 2.侧面积是 322、底面积是2 34 222 3.(2)根据空间几何体的三视图还原空间几何体，再根据三视图中的数据和体积
11、公式进行计算这个几何体是一个三棱柱，其底面三角形的一个边长为 6 cm、这个边上的高为 4 cm，这个三棱柱的高为4 cm，根据柱体的体积公式得这个三棱柱的体积是1264448(cm3)第12讲 要点热点探究 例 3 2011辽宁卷 已知球的直径 SC4，A，B 是该球球面上的两点，AB 3，ASCBSC30，则棱锥 SABC 的体积为()A3 3B2 3C.3D1 探究点三 球与多面体第12讲 要点热点探究 C【解析】如图，过 A 作 AD 垂直 SC 于 D，连接 BD.由于 SC 是球的直径，所以SACSBC90，又ASCBSC30，又 SC 为公共边，所以SACSBC.由于 AD SC
12、，所以 BDSC.由此得 SC平面 ABD.所以 VSABCVSABDVCABD13SABDSC.由于在 RtSAC 中ASC30，SC4，所以 AC2，SA2 3，由于 ADSACASC 3.同理在 RtBSC 中也有 BDSBCBSC 3.又 AB 3，所以ABD 为正三角形，所以 VSABC13SABDSC1312(3)2sin604 3，所以选 C.第12讲 要点热点探究 【点评】本题考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力本题的难点在于对三棱锥 SABC 的结构特征的分析判断，其中的体积分割法是求解体积问题时经常使用的技巧 第12讲 要点热点探究(1)已知一个三棱锥的三视图如图 12
13、8 所示，其中俯视图是顶角为 120的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为_图 128(2)2011课标全国卷 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_ 第12讲 要点热点探究(1)20 53(2)13【解析】(1)这个空间几何体的直观图如图，由于该几何体关于平面 PAD 对称，故球心一定在平面 PAD 内，则球心一定在平面 PAD 中线段 PA 的垂直平分线 EO 上，如图，设DFx，则 OP1x21，OBx24，由1x21x24，解得 x1，故 OP 5，这就是三棱锥
14、的外接球的半径根据体积公式得 V43(5)320 53.第12讲 要点热点探究(2)如图，设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r，则球面面积为 4R2，圆锥底面面积为 r2，由题意 r21216R2，所以 r 32 R，所以 OO1 OA2O1A2R234R212R，所以 SO1R12R32R，S1O1R12R12R，所以S1O1SO1 R23R213.第12讲 规律技巧提炼 1真实图形中和两坐标轴平行的线段在直观图中仍然和两坐标轴平行，在真实图形中与 x 轴平行的线段在直观图中长度不变，在真实图形中和 y 轴平行的线段在直观图中变为原来的一半这种画法蕴含着一个一般的规律，在斜二测画法中，真实图
15、形的面积和直观图的面积之比是 2 2.2空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分“是侧面积还是表面积”多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和规律技巧提炼第12讲 规律技巧提炼 3实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，往往是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”，将组合体“分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积”，然后根据组合体的结构，将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差第12讲
16、教师备用例题 教师备用例题备选理由：例 1 把球、二面角综合，但解题主要依靠余弦定理和方程思想，是一道对空间想象能力和运算能力要求较高的试题；例 2 是球与多面体，可以作为要点热点探究三的补充；例 3 是一个有难度的题目，其中点评给出的三视图可以提高考生的空间想象能力第12讲 教师备用例题 例 1 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P，从直线 l 出发的两个半平面，截球的两截面圆的半径分别为 1 和 3，二面角 l 的平面角为 150，则球 O 的表面积为()A4B16C28D112 第12讲 教师备用例题【解析】D 如图，设 OO1h1，OO2h2，则 h211h223，根据余弦定理
17、 h21h222h1h2cos301321 3cos1507，消掉h1得方程2h225 3h2 h222，两端平方得h4226h22250，解得 h221(舍去)，或 h2225，即 h25，所以球的半径 r 325 28，故球的面积是 4r2112.第12讲 教师备用例题 例 2 2011重庆卷 高为 24 的四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为()A.24B.22C1D.2 第12讲 教师备用例题【解析】C 如图所示，设球心为 O，正方形的中心为 O1，则OB1，O1B12B
18、D 22，所以点 O 到平面 ABCD 的距离 OO1OB2O1B2 22.因为四棱锥 SABCD 的高为 24，故四棱锥 SABCD 的顶点 S 在与平面 ABCD 平行且距离为 24 的一个小圆的圆周上，此小圆的圆心 O2 在 OO1 的中点上，易知 SO2 为线段 OO1 的垂直平分线，所以 SO1SO1.故选 C.第12讲 教师备用例题 例 3 已知正方体 ABDCA1B1C1D1，则四面体 C1A1BD在平面 ABCD 上的正投影的面积与该四面体的表面积之比是()A.3B.33C2 3D.36 第12讲 教师备用例题【解析】D 根据正投影的概念，结合图形知四面体 C1A1BD在底面上的正投影就是正方形 ABCD，设该正方体的棱长为 1，则这个投影的面积就是 1，四面体的四个面都是边长为 2的正三角形，故其表面积是 4 34(2)22 3，故所求的比值为 12 3 36.正确选项为 D.
