1、高考资源网（） 您身边的高考专家34.2基本不等式的应用1.理解基本不等式及其变形公式的运用2.掌握运用基本不等式求最大(小)值问题的常用方法3掌握运用基本不等式解决实际问题中的最优化问题,学生用书P62)1基本不等式与最值已知x、y都是正数，(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值.(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小2基本不等式的其他形式与拓展(1)四个重要不等式：a2b22ab；(a，bR)ab；(a，bR)ab2；(a0，b0)ab.(a，bR)注意：1.三种形式的前提条件是a、b为实数，形式的前提条件
2、是a、b为非负数2四种形式等号成立的条件都是ab.(2)平方平均数 ，算术平均数，几何平均数，调和平均数的大小顺序为 .注意：这里a、b都为正实数，当且仅当ab时， .3利用基本不等式求最值时，应注意的问题(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值(3)确保等号成立以上三个条件缺一不可可概括为“一正、二定、三相等”(4)另外，连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则不能求出最值1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意的a，bR，若a与b的和为定值，则ab有
3、最大值()(2)若xy4，则xy的最小值为4.()(3)函数f(x)x2的最小值为21.()解析：(1)正确当a，bR时，若a与b的和为定值，ab，所以ab有最大值(2)错误当x，y0时，xy的最小值为4；当x，y2，则yx的最小值为_(2)若0x2，所以x20，所以yxx222 26，当且仅当x2，即x4时，等号成立所以yx的最小值为6.(2)因为0x0，所以yx(12x)2x(12x)，当且仅当2x12x，即当x时，ymax.(3)因为x，y(0，)，x4y1，所以59，当且仅当，即x，y时取等号【答案】(1)6(2)(3)9若把本例(1)中的条件“x2”改为“x2”，求yx的最大值解：因
4、为x0，所以f(x)x2222，当且仅当2x，得x0或x4(舍去x4)，即x0时，等号成立故f(x)x的最大值为2.(1)应用基本不等式需注意三个必要条件：即一正、二定、三相等在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键(2)常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用基本不等式 1.设0x，求函数y4x(32x)的最大值解：因为0x0，所以y4x(32x)22x(32x)2.当且仅当2x32x，即x
5、时，等号成立因为.所以函数y4x(32x)的最大值为.利用基本不等式求含有限制条件的最值学生用书P63设x，y均为正数，若xy，且xy1，求的最小值【解】因为xy1，所以xy.又xy0xy0，所以xy2 2，当且仅当即时取等号所以当x，y时，取得最小值2.运用基本不等式求参数或代数式取值范围的类型及处理技巧(1)若已知等式，则要用基本不等式进行缩放，得出不等式，进而解出该不等式 (2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数式的最值，而求函数式的最值时，可能用到基本不等式2.设x，y均为正数(1)若lg xlg y1，求的最小值；(2)若x2y1，求的最小值解：(1)由lg xlg
6、 y1，得xy10，又x0，y0，所以2 2，当且仅当即时取等号所以当x5，y2时，取最小值2.(2)因为x2y1，所以12332，当且仅当即时取等号所以当x1，y时， 取最小值32.利用基本不等式解实际应用题学生用书P64某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图)(1)若设休闲区的长和宽的比x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计
7、？【解】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米由a2x4 000，得a.所以S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)160804 160(x1)(2)804 1608024 1601 6004 1605 760.当且仅当2，即x2.5时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意的基础上，设变量一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (2)建立相应的函数解析式，将实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内(使实际问题有意义
8、的自变量取值范围)，求出函数的最大值或最小值；(4)回到实际问题中，结合实际意义写出正确的答案，回答实际问题3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解：(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为Sxy，依题意得，40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy120 20S.所以S61600，即(10)(16)0
9、，故10，从而S100，所以S的最大允许值是100平方米(2)取得最大值的条件是40x90y且xy100，求得x15，即铁栅的长是15米基本不等式模型为我们提供了利用基本不等式解决简单的最值问题的思考方向，若xys(x，y0，s是常数)，则，由此得xy，当且仅当xy时取“”所以xy取得最大值；同理，当xyp(x，y0，p是常数)时，xy22.当且仅当xy时，xy取得最小值2.那么，当和为定值时，可以求得积的最大值，当积为定值时，可以求得和的最小值下列说法中正确的序号是_yx的最小值是2；y的最小值是2；y的最小值是；y23x的最大值是24.解析错误，当x0时，yx22，当且仅当x，即x1时取“
10、”，yx的最小值是2；当x0时，y23x2224，当x0时，(*1)y23x22 24.答案1若在(*1)处忽视x0的情况，则容易错填，；若在(*2)处忽视验证等号是否成立，不知道利用函数的单调性求函数的最大(小)值，则容易错填.2(1)重视利用基本不等式求最值的条件应用基本不等式求最值必须具备“一正、二定、三相等”三个条件，如本例中yx，y23x不具备“正数”这一条件，要应用基本不等式需要分类讨论，y，y不具备“相等”这一条件(2)注意函数单调性的应用当基本不等式不能直接应用时，要合理利用函数的单调性，如本例中y，y不具备“相等”这一条件，但是可以利用yt的单调性求最值1已知a，bR，若a2
11、b21，则ab有最_值为_；若ab1，则a2b2有最_值为_解析：由a2b22ab可知，当a2b21时，ab，故ab有最大值为；当ab1时，a2b22，a2b2有最小值2.答案：大小22若0x1，则的取值范围是_解析：由0x0，故，当且仅当x时，上式等号成立所以00)因为x24，当且仅当x即x2时取等号，所以ymin48032041 760(元)答案：1 760,学生用书P115(单独成册)A基础达标1已知ab0，则2a2b的最小值是_解析：2a2b222(当且仅当ab0时，取“”)答案：22函数y的最小值为_解析：y2，当且仅当，即x0时，y取到最小值2.答案：23某公司一年购买某种货物40
12、0 t，每次都购买x t，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_ t.解析：设一年总费用为y万元，则y44x4x2 160，当且仅当4x，即x20时，等号成立答案：204如果log3mlog3n4，那么mn的最小值是_解析：因为log3mlog3n4，所以mn34，所以mn2223218(当且仅当mn9时，取“”)答案：185已知x，则f(x)的最小值为_解析：f(x)2 1，当且仅当x2且x，即x3时取得最小值1.答案：16一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速到达B市，已知两地铁路线长为400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于
13、 km(货车的长度忽略不计)，那么这批货物全部运到B市，最快需要_ h.解析：这批货物从A市全部运到B市的时间为t2 8(h)，当且仅当v100时，取等号答案：87若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_解析：设t(t0)，由xy2xy626，即t22t6，(t3)(t)0，所以t3，则xy18，当且仅当2xy，2xy6xy，即x3，y6时等号成立，所以xy的最小值为18.答案：188已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为_解析：由题意，知所以2224，当且仅当xy时，等号成立答案：49已知a，b为正实数，且ab1，求的最小值解：123232
14、.当且仅当，即a1，b2时取“”故的最小值是32.10现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为45海里/时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：(1)由题意，每小时燃料费用为0.6x2(00，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n0，则的最小值为_解析：函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定
15、点(2，1)，即定点A的坐标为(2，1)，所以2mn10，即2mn1，所以(2mn)4248，当且仅当m，n时取等号，所以的最小值为8.答案：83设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为_解析：zx23xy4y2(x0，y0，z0)，所以1.当且仅当，即x2y时等号成立，此时zx23xy4y24y26y24y22y2，所以1，所以当y1时，的最大值为1.答案：14(选做题) 有一五边形ABCDE的地块(如图所示)，其中CD，DE为围墙其余各边界是不能动的一些体育设施，现准备在此五边形内建一栋科技楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地(1)请设计
16、科技楼的长和宽，使科技楼的底面面积最大(2)若这一块地皮价值为400万，现用来建每层为256平方米的楼房，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整栋楼房每平方米的建筑费用增加25元已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为500元为了使该楼每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，问应把楼房建成几层？解：(1)建立如图所示的坐标系，可知AB所在的直线方程为1，即xy20，设G(x，y)，由y20x可知 G(x，20x)S395(20x)(235x)x24x1814(x2)2256.由此可知，当x2时，S有最大值256平方米，所以长、宽均为16米时面积最大(2)设应把楼房建成x层，则楼房总面积为256x平方米，每平方米的购地费为4 000 000(256x)元，每平方米的建筑费用为50025(x5)元于是建房每平方米的综合费用为y50025(x5)37525x375237523751 2501 625(元)当25x，即x2，x25时，y有最小值1 625.故为了使该楼每平方米的平均综合费用最低，应把楼房建成25层高考资源网版权所有，侵权必究！
