1、2016-2017学年河南省周口市郸城一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1已知不等式x2x+60，则该不等式的解集是（）A（2，3）B（3，2）C（，3）（2，+）D（，2）（3，+）2在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）ABCD3已知直线 axby2=0与曲线y=x3在点p（1，1）处的切线互相垂直，则为（）AB3CD34已知抛物线的方程为y=2px2且过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（）A（1，0）BCD（0，1）5设ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A直角三角
2、形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形6设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D97若f（x）=ex+sinxcosx的导数为f（x），则f（0）等于（）A2Bln2+1Cln21Dln2+28已知双曲线C：=19（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x9为了得到函数y=cos（3x）的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位10已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切
3、，则动圆圆心M的轨迹方程是（）Ax=0BCD11若f（x）=x22x4lnx，则f（x）0的解集（）A（0，+）B（0，2）C（0，2）（，1）D（2，+）12函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，l）D（，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知命题p：xR，xsinx，则p的否定形式为14在ABC中，A，B，C对应边分别为a，b，c，且a=1，b=，则B=15已知x0，y0，若+m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是16已知函数f（x）=f（）cosx+sinx，则f（）=三、解答题：
4、本大题共5小题，满分58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值18已知正数数列an的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足（）求数列an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和Bn19函数f（x）=x3ax1（1）当a=8时，求函数f（x）在x=0处的切线方程（2）讨论f（x）=x3ax1的单调性20如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AC=2，AA1=，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D（）求
5、证：BDA1C（）求二面角BA1DC的大小21已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆左右焦点，A为椭圆的短轴端点且|AF1|=（1）求椭圆C的方程；（2）过F2作直线l角椭圆C于P，Q两点，求PQF1的面积的最大值四、解答题（共1小题，满分12分）22已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x2y=0，直线l的参数方程为（t为参数），射线OM的极坐标方程为=（）求圆C和直线l的极坐标方程（）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长五、解答题（共1小题，满分
6、0分）23已知函数f（x）=|2x+1|x|2（）解不等式f（x）0（）若存在实数x，使得f（x）|x|+a，求实数a的取值范围2016-2017学年河南省周口市郸城一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1已知不等式x2x+60，则该不等式的解集是（）A（2，3）B（3，2）C（，3）（2，+）D（，2）（3，+）【考点】一元二次不等式的解法【分析】不等式x2x+60，化为：（x+3）（x2）0，解出即可得出【解答】解：不等式x2x+60，化为x2+x60，因式分解为：（x+3）（x2）0，解得3x2则该不等式的解集是（
7、3，2）故选：B2在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）ABCD【考点】极坐标刻画点的位置【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，得出圆心与半径，进而得到圆心的极坐标方程【解答】解：由圆，化为，化为=，圆心为，半径r=tan=，取极角，圆的圆心的极坐标为故选A3已知直线 axby2=0与曲线y=x3在点p（1，1）处的切线互相垂直，则为（）AB3CD3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求导函数，求得切线的斜率，利用曲线y=x3在点P（1，1）处的切线与直线axby2=0互相垂直，即可求得结论【解答】解：求导函数，可得y=3x2，当x=1时，y=3，y=x3在点P（1，1）处的切线与
8、直线axby2=0互相垂直，3=1=3故选：B4已知抛物线的方程为y=2px2且过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（）A（1，0）BCD（0，1）【考点】抛物线的简单性质【分析】利用点的坐标满足方程求出a，化简抛物线方程，然后求解即可【解答】解：抛物线的方程为y=2px2，且经过点（1，4），可得p=2，抛物线的标准方程为：x2=y，则焦点坐标为：（0，）故选C5设ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A直角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【考点】数列与三角函数的综合；三角形的形状判断【分析】先由ABC的三内角A、B
9、、C成等差数列，求得B=60，A+C=120；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2B=sinAsinC，结合即可判断这个三角形的形状【解答】解：ABC的三内角A、B、C成等差数列，B=60，A+C=120；又sinA、sinB、sinC成等比数列，sin2B=sinAsinC=，由得：sinAsin=sinA（sin120cosAcos120sinA）=sin2A+=sin2Acos2A+=sin（2A30）+=，sin（2A30）=1，又0A120A=60故选D6设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D9【考
10、点】等差数列的前n项和【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2（11）+8d=6，解得d=2，所以，所以当n=6时，Sn取最小值故选A7若f（x）=ex+sinxcosx的导数为f（x），则f（0）等于（）A2Bln2+1Cln21Dln2+2【考点】导数的运算【分析】根据题意，由f（x）的解析式计算可得f（x）=ex+cosx+sinx，将x=0代入计算可得f（0），即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）=ex+sinxcosx，则f（x）=ex+cosx+sinx，则f（0）=e0+cos0+
11、sin0=2；故选：A8已知双曲线C：=19（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，通过离心率a和c的关系，求得a和b的关系，进而求得渐近线方程【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=，离心率e=，可得：，解得，则C的渐近线方程为：y=x故选：D9为了得到函数y=cos（3x）的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】把函数y=cos（3x）化为y=cos3（x），由此可知函数
12、y=cos（3x）是把函数y=cos3x的自变量变为x，则答案可求【解答】解：由y=cos（3x）=cos3（x），要得到函数y=cos（3x）的图象，只需将y=cos3x的图象向右平移个单位故选：C10已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）Ax=0BCD【考点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定【分析】由于动圆与两个定圆都相切，可分两类考虑，若动圆与两定圆相外切或与两定圆都内切，可以得出动圆与两定圆圆心的距离相等，故动圆圆心M的轨迹是一条直线，且是两定圆圆心连线段的垂直平分线若一内切一外切，则到两圆圆心的距
13、离差是一个常数，由双曲线的定义知，此种情况下轨迹是双曲线【解答】解：由题意，若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，|MC1|=|MC2|，即M点在线段C1，C2的垂直平分线上又C1，C2的坐标分别为（4，0）与（4，0）其垂直平分线为y轴，动圆圆心M的轨迹方程是x=0若一内切一外切，不妨令与圆C1：（x+4）2+y2=2内切，与圆C2：（x4）2+y2=2外切，则有M到（4，0）的距离减到（4，0）的距离的差是2，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以（4，0）与（4，0）为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得b2=
14、c2a2=14，故此双曲线的方程为综知，动圆M的轨迹方程为应选D11若f（x）=x22x4lnx，则f（x）0的解集（）A（0，+）B（0，2）C（0，2）（，1）D（2，+）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案【解答】解：函数f（x）=x22x4lnx的定义域为x|x0，则f（x）=2x2=，由f（x）=0，得x2x20，解得1x2，x0，不等式的解为0x2，故选：B12函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，l）D（，+）【考点
15、】其他不等式的解法【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=1代入F（x）中，由f（1）=2出F（1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f（x）2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集【解答】解：设F（x）=f（x）（2x+4），则F（1）=f（1）（2+4）=22=0，又对任意xR，f（x）2，所以F（x）=f（x）20，即F（x）在R上单调递增，则F（x）0的解集为（1，+），即f（x）2x+4的解集为（1，+）故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分1
16、3已知命题p：xR，xsinx，则p的否定形式为p：xR，xsinx【考点】命题的否定【分析】根据特称命题的否定是全称命题，由此写出命题的否定即可【解答】解：命题p：xR，xsinx，命题p的否定是p：xR，xsinx故答案为：p：xR，xsinx14在ABC中，A，B，C对应边分别为a，b，c，且a=1，b=，则B=45或135【考点】正弦定理【分析】先判定三角形解得个数，再由正弦定理可得【解答】解：在ABC中a=1，b=，A=30，又bsinA=，1，已知三角形有两解，由正弦定理可得sinB=，B=45或B=135故答案为：45或13515已知x0，y0，若+m2+2m恒成立，则实数m的取
17、值范围是4m2【考点】函数恒成立问题；基本不等式【分析】根据题意，由基本不等式的性质，可得+2=8，即+的最小值为8，结合题意，可得m2+2m8恒成立，解可得答案【解答】解：根据题意，x0，y0，则0，0，则+2=8，即+的最小值为8，若+m2+2m恒成立，必有m2+2m8恒成立，m2+2m8m2+2m80，解可得，4m2，故答案为4m216已知函数f（x）=f（）cosx+sinx，则f（）=1【考点】函数的值【分析】由已知得f（）=f（）sin+cos，从而f（x）=（1）cosx+sinx，由此能求出f（）【解答】解：由f（x）=f（）cosx+sinx，得f（x）=f（）sinx+co
18、sx，所以f（）=f（）sin+cos，f（）=f（）+解得f（）=1所以f（x）=（1）cosx+sinx则f（）=（1）cos+sin=（）+=1故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，满分58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20又b=5，解得c=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=25+1620
19、=21，即可得出a又由正弦定理得即可得到即可得出【解答】解：（）由cos2A3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA2=0，即（2cosA1）（cosA+2）=0，解得（舍去）因为0A，所以（）由S=，得到bc=20又b=5，解得c=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故又由正弦定理得18已知正数数列an的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足（）求数列an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和Bn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（I）仿写一个等式，两式相减，得到数列的项的递推关系，据此递推关系，判断出数列是等差数列，利用等差数列的通项
20、公式求出通项（II）将数列的通项裂成两项的差，通过和众的项相互抵消，求出数列的前n项和【解答】解：（）由，n=1代入得a1=1，两边平方得4Sn=（an+1）2（1），（1）式中n用n1代入得（2），（1）（2），得4an=（an+1）2（an1+1）2，0=（an1）2（an1+1）2，（an1）+（an1+1）（an1）（an1+1）=0，由正数数列an，得anan1=2，所以数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，有an=2n1（），裂项相消得19函数f（x）=x3ax1（1）当a=8时，求函数f（x）在x=0处的切线方程（2）讨论f（x）=x3ax1的单调性【考点】利用导数研究函数的
21、单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f（0），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可【解答】解：（1）a=8时，f（x）=x38x1，f（x）=3x28，故f（0）=8，f（0）=1，故切线方程是：y+1=8x，即8x+y+1=0；（2）f（x）=3x2a，a0时，f（x）0，f（x）在R递增，a0时，令f（x）0，解得：x或x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（，）递增，在（，）递减，在（，+）递增20如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AC=2，AA1=，AB=2，点D在棱B1C1上
22、，且B1C1=4B1D（）求证：BDA1C（）求二面角BA1DC的大小【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知得到所用点的坐标，求得的坐标，由两向量的数量积为0说明BDA1C；（）分别求出平面BDA1与平面A1DC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角BA1DC的大小【解答】（）证明：分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，AC=2，AA1=，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D，B（2，0，0），C（0，0），A1（0，0，），D（，）则，
23、BDA1C；（）解：设平面BDA1的一个法向量为，取z=2，则；设平面A1DC的一个法向量为，取y=1，得cos=二面角BA1DC的大小为arccos21已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆左右焦点，A为椭圆的短轴端点且|AF1|=（1）求椭圆C的方程；（2）过F2作直线l角椭圆C于P，Q两点，求PQF1的面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由已知可得：，解出即可得出椭圆C的方程；（2）由（1）可知：F2（2，0），设直线l的方程为x=ty+2，与椭圆方程联立化为（3+t2）y2+4ty2=0，设P（x1，y2），Q（x2，y2），利用根与系数的关系可得|
24、y1y2|=，利用=|F1F2|y1y2|，及其基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）由已知可得：，解得a=，c=2，b2=2，椭圆C的方程为；（2）由（1）可知：F2（2，0），设直线l的方程为x=ty+2，联立，化为（3+t2）y2+4ty2=0，设P（x1，y2），Q（x2，y2），y1+y2=，y1y2=，|y1y2|=，=|F1F2|y1y2|=2，当且仅当，即t=1时，PQF1的面积取得最大值2四、解答题（共1小题，满分12分）22已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x2y=0，直线l的
25、参数方程为（t为参数），射线OM的极坐标方程为=（）求圆C和直线l的极坐标方程（）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（I）根据已知中圆C的直角坐标系方程，可得圆C的极坐标方程；先由直线l的参数方程消参得到直线l的普通方程，进而可得直线l的极坐标方程（）已知射线OM与圆C的交点为O，P，将=代和，可得P，Q点的极坐标，进而得到线段PQ的长【解答】解：（I）圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x2y=0，圆C的极坐标方程为：2+2cos2sin=0，即+2cos2sin=0，即，直线l的参数方程为（t为参数
26、），消参得：xy+1=0，直线l的极坐标方程为：cossin+1=0，即sincos=；（）当=时，|OP|=2，故点P的极坐标为（2，），|OQ|=，故点Q的极坐标为（，），故线段PQ的长为：五、解答题（共1小题，满分0分）23已知函数f（x）=|2x+1|x|2（）解不等式f（x）0（）若存在实数x，使得f（x）|x|+a，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集（）不等式即|x+|x|+1，由题意可得，不等式有解根据绝对值的意义可得|x+|x|，故有+1，由此求得a的范围【解答】解：（）函数f（x）=|2x+1|x|2=，当x时，由x30，可得x3当x0时，由3x10，求得 x当x0时，由x10，求得 x1综上可得，不等式的解集为x|x3 或x1（）f（x）|x|+a，即|x+|x|+1，由题意可得，不等式有解由于|x+|x|表示数轴上的x对应点到对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|x|，故有+1，求得a32017年4月26日
