1、专题二十七 函数与方程思想 专题二十八 数形结合思想 专题二十九 分类与整合思想 专题三十 转化与化归思想 第八单元 数学思想方法第八单元 数学思想方法 知识网络构建第八单元 知识网络构建 考情分析预测第八单元 考情分析预测 考向预测对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，高考命题是通过数学知识的考查，来反映对数学思想方法的理解和掌握程度四种数学思想方法是每年高考的必考内容，是高考考查的重点，各种题型都有，难度中等偏上(1)与函数和方程思想有关的常见题型：与不等式、方程有关的最值问题；建立目标函数，求最值或最优解问题；在含有多个变量的问题
2、中，选择合适的自变量构造函数解题；实际应用问题，建立函数关系，利用函数性质、导数、不等式性质等知识解答；利用函数思想解决数列中的问题第八单元 考情分析预测 (2)与数形结合思想有关的常见题型：集合间关系利用韦恩图求解；以数学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合题，如截距、斜率、距离、导数的几何意义，借助图象求解(3)与分类与整合思想有关的常见题型：含有参数的函数性质问题、交点问题；对由数学概念引起的分类讨论问题，如对指数函数、对数函数的底数的讨论，对一元二次不等式的二次项系数的讨论；由公式定理引起的讨论问题，如绝对值、等比数列前 n 项和的计算问题第八单元 考情分析预测 (4)与转化
3、与化归思想有关的常见题型：未知转化为已知(复杂转化为简单)；函数与方程的相互转化；正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则；空间与平面的相互转化；常量与变量的转化；数与形的转化；相等与不等的相互转化；实际问题与数学模型的转化第八单元 考情分析预测 备考策略二轮复习时，要有效地掌握以下几个方面：数学思想与方法是通过数学知识体现的，在复习中，要养成利用数学思想分析问题、思考问题、解答问题的习惯意识(1)对于函数与方程思想，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键(2)数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结
4、合起来，即将代数问题几何化，几何问题代数化在运用数形结合思想分析问题时，要注意三点：理解一些概念与运算法则的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义，又分析其代数意义；恰当设参、合理用参，建立关系，由形思数，以数想形，做好数形转化；确定参数的取值范围，参数的范围决定图形的范围第八单元 考情分析预测 (3)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略利用好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度复习中要养成分类与整合的习惯，常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形变动型(4)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法
5、，它无处不在比如：解不等式时，将分式不等式转化为整式不等式；处理立体几何问题时，将空间的问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等第八单元 近年高考纵览 考试说明对数学思想做了如下要求：突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查在 0811 年的江苏卷中，有着大量的对数学思想运用的考题如 08 年的填空题的第 14 题分类讨论及等价转化的思想的运用；09 年的第 17 题的第(2)问函数与方程思
6、想的运用.10 年的第 11 题数形结合思想的运用；11 年的第 14 题数形结合的思想的运用专题二十七 函数与方程思想 专题二十七 函数与方程思想 主干知识整合专题二十七 主干知识整合 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的函数与方程的思想是中学数学的基本思想，纵观近 4 年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之
7、一在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在 20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多专题二十七 主干知识整合 函数与方程的思想主要体现在以下几个方面：1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程思想是动中求静，研
8、究运动中的等量关系专题二十七 主干知识整合 3.函数与方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为方程 f(x)0，也可以把函数式 yf(x)看作二元方程 yf(x)0；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为不等式 f(x)0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理
9、论；(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决要点热点探究专题二十七 要点热点探究 探究点一 函数思想的运用在方程、不等式、数列、向量、解析几何等数学问题中，经常会蕴涵着函数关系或比较大小、参数取值范围、最值等问题，此时可以构建函数，运用函数的知识或函数的方法解决问题专题二十七 要点热点探究 例 1 设数列an的前 n 项积为 Tn，Tn1an；数列bn的前 n 项和为 Sn，Sn1bn.(1)设 cn 1Tn.证明数列cn为等差数列；求数列an的通项公式；(2)若 Tn(nbnn2)kn 对 nN*恒成立，求实数 k的取值范围专题二十七
10、要点热点探究【解答】(1)证明：由 Tn1an 得：Tn1 TnTn1(n2)，TnTn1Tn1Tn,1Tn1TnTnTn1 1Tn 1Tn1，即 cncn11.又 T11a1a1，a112，c1 1T12，所以数列cn是以 2 为首项，1 为公差的等差数列cnc1n12n1n1，Tn 1n1，an TnTn1 nn1(n2)，当 n1 时也符合，故 an nn1.专题二十七 要点热点探究(2)因为 Sn1bn，S11b1b1，所以 b112，Sn11bn1(n2)，SnSn1bn1bn,2bnbn1(n2)所以数列bn是以12为首项，12为公比的等比数列所以 bnb112n112n.因为 T
11、n(nbnn2)kn 对 nN*恒成立，所以 Tnbnn2nk 对 nN*恒成立，即 1n112n n2nn1k 对 nN*恒成立设 f(n)1n112n，则 f(n1)1n212n1.专题二十七 要点热点探究 因为 1n1 1n20，12n12n10，所以 f(n)f(n1)，所以当 nN*时，f(n)单调递减设 g(n)n2nn1，则 g(n1)n1n1n2，g(n1)g(n)4nnn1n2.所以当 1n4 时，g(n)单调递增；g(4)g(5)；当 n5 时，g(n)单调递减设 L(n)f(n)g(n)，则 L(1)L(2)L(3)，L(3)L(4)L(5)L(6).所以 L(3)最大，
12、且 L(3)1196.所以实数 k 的取值范围为1196，.专题二十七 要点热点探究【点评】数列是定义在 N*或其子集上的特殊函数，数列的通项公式和其前 n 项和都可以构造为关于 n 的函数，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题本题中将所得函数分成两个部分研究，当 n5 时，f(n)、g(n)均递减，则 L(n)递减，前几项只需要一一代入即可明确大小关系专题二十七 要点热点探究 探究点二 方程思想的运用方程思想的运用包含以下几个问题：一将题干中所给的方程进行转化，凸显其隐含条件，从而利用方程的性质解决问题；二是根据题目所给未知量，根据条件列出关于未知数的方程(组)，求出未知数，解决问题专题二
13、十七 要点热点探究 例 2 设数列an的前 n 项和 Snn2，数列bn满足bnananm(mN*)(1)若 b1，b2，b8 成等比数列，试求 m 的值；(2)是否存在 m，使得数列bn中存在某项 bt 满足 b1，b4，bt(tN*，t5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的 m 的个数；若不存在，请说明理由专题二十七 要点热点探究【解答】(1)因为 Snn2，所以当 n2 时，anSnSn12n1，又当 n1 时，a1S11，适合上式，所以 an2n1(nN*)，所以 bn2n12n1m，则 b111m，b233m，b81515m，由 b22b1b8，得33m211m1515m，解得 m
14、0(舍)或 m9，所以 m9.(2)假设存在 m，使得 b1，b4，bt(tN*，t5)成等差数列，即 2b4b1bt，则277m11m2t12t1m，化简得 t7 36m5，所以当 m51,2,3,4,6,9,12,18,36 时，分别存在 t43,25,19,16,13,11,10,9,8 适合题意，即存在这样的 m，且符合题意的 m 共有 9 个专题二十七 要点热点探究【点评】数列中的通项公式和前 n 项和公式都是方程三项 b1，b2，b8 成等比数列，其本质还是求方程 b22b1b8的解第二小问中 b1，b4，bt 是否成等差数列，其本质还是论证二元方程的整数解问题，可以利用整除性来考
15、虑，这在数列问题中屡见不鲜专题二十七 要点热点探究 探究点三 联用函数与方程的思想函数与方程有着密不可分的关系，在解综合问题中，解决一个问题常常不只需要一种数学思想，而是多种思想的联用它们相互转化使得问题一步步清晰化，常见转化途径有“函数方程函数”专题二十七 要点热点探究 例 3已知函数 f(x)x2axlnx，aR.(1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数 f(x)在1,2上是减函数，求实数 a 的取值范围；(3)令 g(x)f(x)x2，是否存在实数 a，当 x(0，e(e 是自然对数的底数)时，函数 g(x)的最小值是 3？若存在，求出 a 的值
16、；若不存在，说明理由专题二十七 要点热点探究【解答】(1)当 a0 时，f(x)x2lnx，所以 f(x)2x1xf(1)1，又 f(1)1，所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 xy0.(2)因为函数在1,2上是减函数，所以f(x)2xa1x2x2ax1x0 在1,2上恒成立，令 h(x)2x2ax1，有h10，h20，得a1，a72，所以 a72.专题二十七 要点热点探究(3)假设存在实数 a，使 g(x)axlnx 在(0，e上有最小值 3，g(x)a1xax1x.当 a0 时，g(x)e 时，g(x)0 在(0，e上恒成立，所以 g(x)在(0，e上单调递减，g(x)m
17、ing(e)ae13，a4e(舍去)；当 01ae 时，令 g(x)00 x1a，所以 g(x)在0，1a 上单调递减，在1a，e 上单调递增，g(x)ming1a 1lna3，ae2，满足条件综上，存在实数 ae2，使得当 x(0，e时，g(x)有最小值 3.规律技巧提炼专题二十七 规律技巧提炼 1函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系2在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变
18、量之间的关系，这就是方程的思想专题二十七 规律技巧提炼 3函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中的函数和方程的思想，用它来指导解题在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案专题二十七
19、 江苏真题剖析 例 2008江苏卷 如图 271，在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，点 P(0，p)是线段AO 上的一点(异于端点)，这里 a，b，c，p 均为非零实数，设直线 BP，CP 分别与边 AC，AB 交于点 E，F，某同学已正确求得直线 OE 的方程为1b1c x1p1a y0，请你完成直线 OF 的方程：(_)x1p1a y0.图 271江苏真题剖析【分析】高中所学平面直角坐标系中的曲线本身就是一个二元方程 f(x，y)0.本题所用方程思想是：若xx0，yy0是方程 f(x，y)0 的一组解，则曲线 f(x，y
20、)0 必过点(x0，y0)专题二十七 江苏真题剖析【答案】1c1b【解析】由截距式可得直线 AB：xbya1，直线 CP：xcyp1，设 F(x0，y0)，因为点 F 在直线 CP 上，有x0c y0p1，点 F 在直线 AB 上，有x0b y0a1，由得1c1b x01p1a y00(*)，而原点 O 也满足(*)式，故方程1c1b x1p1a y0，即为过点 O 和 F 的直线方程，且过两点的直线具有惟一性，即直线 OF 的方程为1c1bx1p1ay0.专题二十七 江苏真题剖析 对任意实数 m，过函数 f(x)x2mx1 图象上的点(2，f(2)的切线恒过一定点 P，则点 P 的坐标为_专题二十七 江苏真题剖析 (0，3)【解析】因为 f(x)2xm，故 f(2)4m.于是过点(2，f(2)的切线方程是：y(52m)(4m)(x2)，即 y(m4)x3，因此切线方程恒过点(0，3)
