1、解答题“70分”标准练(二)1(2017届江西省重点中学盟校联考)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2a2c2ac.(1)求B的大小;(2)求cos Asin C的取值范围解(1)由b2a2c2ac,根据余弦定理得cos B.又B为锐角三角形ABC的内角,所以B.(2)由(1)知,cos Asin Ccos Asinsin,由ABC为锐角三角形且B知,A,故A.A,sin,sin,故cos Asin C的取值范围为.2(2017届河北省衡水中学押题卷)已知数列an的前n项和为Sn,a1,2SnSn11(n2,nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)记bnlogan(
2、nN*),求的前n项和Tn.解当n2时,由2SnSn11及a1,得2S2S11,即2a12a2a11,解得a2.又由2SnSn11,得2Sn1Sn1,由,得2an1an,即 (n2,nN*)且当n1时,也适合上式,因此数列an是以为首项,为公比的等比数列,故an (nN*)(2)由(1)及bnlogan (nN*)可知,bnlognn,所以,故Tn1.3(2017届重庆市第八中学月考)某市对高三学生4月理科数学调研测试的数据统计显示,全市10 000名学生的成绩服从正态分布XN(110,144),现从甲校100分以上(含100分)的200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷来分析,统计如下
3、:试卷编号n1n228n4n5n6n7n8n9n10试卷得分109118112114126128127124126120试卷编号n11n12n13n14n15n16n17n18n19n20试卷得分135138135137135139142144148150(注:表中试卷编号n1n228n4n5n20)(1)列出表中试卷得分为126分的试卷编号(写出具体数据);(2)该市又从乙校中也用系统抽样的方法抽取了20份试卷,将甲、乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图(如图),试通过茎叶图比较两校学生成绩的平均分及分散程度(均不要求计算出具体值,给出结论即可);(3)在第(2)问的前提下,从甲、乙两校这4
4、0名学生中,从成绩在140分以上(含140分)的学生中任意抽取3人,该3人在全市前15名的人数记为,求的分布列和期望(附:若随机变量X服从正态分布N(,2),则P(X)68.3%,P(2X2)95.4%,P(3X3)99.7%)解(1)126分的试卷编号分别为48,88. (2)通过茎叶图可知,甲校学生成绩的平均分高于乙校学生成绩的平均分,甲校学生成绩比较集中,乙校学生成绩比较分散(3)0.001 5,根据正态分布可知,P(74X146)99.7%,P(X146)0.001 5,即前15名的成绩全部在146分以上(含146分)根据茎叶图可知,这40人中成绩在146分以上(含146分)的有3人,
5、而成绩在140分以上(含140分)的有8人的取值为0,1,2,3.P(0),P(1),P(2),P(3),的分布列为0123P因此E()0123.4(2017山西省孝义市考前热身训练)在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AEEBCFFACPPB12(如图1),将AEF沿EF折起到A1EF的位置,使二面角A1EFB成直二面角,连接A1B,A1P(如图2)(1)求证:A1E平面BEP;(2)求二面角BA1PF的余弦值的大小(1)证明不妨设正三角形ABC的边长为3,取BE的中点D,连接DF,如图所示AEEBCFFA12,AFAD2.而A60,ADF是正三角形,又AEDE
6、1,EFAD.在图2中,A1EEF,BEEF,A1EB为二面角A1EFB的平面角,由题设条件知此二面角为直二面角,A1EBE,又BEEFE,A1E平面BEF,即A1E平面BEP.(2)解由(1)知,A1E平面BEP,BEEF.以E为原点,以EB,EF,EA1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示,则A1(0,0,1),B(2,0,0),F(0,0),P(1,0)(2,0,1),(1,1),(0,1)设m(x1,y1,z1),n(x2,y2,z2)分别是平面A1BP和平面A1PF的法向量,由得取y11,得m(,1,2)由得取y21,得n(0,1,)cosm,n.二面角BA1PF为
7、钝角,二面角BA1PF的余弦值为.5(2017届湖南省长沙市雅礼中学模拟)已知F1(1,0),F2(1,0),曲线C1上任意一点M满足|MF2|MF1|;曲线C2上的点N在y轴的右边且N到F2的距离与它到y轴的距离的差为1.(1)求C1,C2的方程;(2)过F1的直线l与C1相交于点A,B,直线AF2,BF2分别与C2相交于点C,D和E,F,求的取值范围解(1)由题意可知,点M的轨迹是以F1,F2为焦点,为实轴长的双曲线的左支,故a,c1b,C1的方程为x2y2(x0),则x1,化简得y24x(x0),即C2的方程为y24x(x0)(2)设直线l的方程为xky1(0k20,恒有f(x)x成立,
8、求实数a的取值范围;(2)若函数g(x)f(x)x有两个相异极值点x1,x2,求证:2ae.(1)解由x0,恒有f(x)x,即ln xx1,对任意x0成立,记H(x),则H(x),当x(0,e2)时,H(x)0,H(x)单调递增;当x(e2,)时,H(x)0时,设h(x)ln xax,则h(x),当0x0,h(x)单调递增;当x时,h(x)0,0ax10,g(x1)g(x2)0,ln x2ax20,ln x1ax10,ln x2ln x1a(x2x1),先证2,即证,即证ln 1,即证ln t.设(t)ln t,则(t)0,函数(t)在(1,)上单调递减,(t)2,又0a,ae2ae.7在平面
9、直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为2cos2sin (0)(1)若直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的长度;(2)若M,N是曲线C上的两点,且OMON,求线段MN长度的最大值解(1)由题意知,直线l的普通方程为yx,则其极坐标方程为或,不妨设A,B,把代入2cos2sin ,得2,所以|OA|;把代入2cos2sin ,得2,所以|OB|,所以线段AB的长度为.(2)设M(3,),N,则|OM|2cos2sin ,|ON|2cos2sinsin2cos ,所以|MN|2|OM|2|ON|2cos2sin sin2cos 1sin,故当时,|MN|取得最大值.8.已知f(x)2|x1|x的最小值为b.(1)求b;(2)已知ab,求证:a.(1)解f(x)2|x1|x所以bf(x)minf(1)1.(2)证明由(1)知b1,设a1m(m0),则1ma.