1、专题十二 三角函数的综合问题 专题十二 三角函数的综合问题 主干知识整合专题十二 主干知识整合 1三角函数的综合问题主要包含以下几个方面(1)与三角形有关的三角函数问题(2)与向量有关的三角函数问题(3)三角函数的实际应用题2有关定理和公式(1)正弦定理：asinA bsinB csinC2R(R 为ABC 外接圆半径)(2)三角形面积公式：S12absinC12bcsinA12acsinB.专题十二 主干知识整合 (3)余弦定理：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC，cosAb2c2a22bc，cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22a
2、b.(4)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂水平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时的夹角叫做仰角；目标视线在水平视线下方时的夹角叫做俯角(5)方位角：一般是指北方向顺时针转到目标方向的水平角，在实际问题中，一般更明确地指出方位角的具体方向要点热点探究专题十二 要点热点探究 在斜三角形的研究中，除了三角形形状本身的研究，也会出现以三角形中的角为自变量的三角函数性质的研究，这里要注意因为三角形形状的影响，而带来自变量的取值范围的变化例 1 已知ABC 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，若acbcsinBsinAsinC.(1)求角 A；(2)若 f(x)cos2
3、(xA)sin2(xA)，求 f(x)的单调递增区间 探究点一 三角形背景下的三角函数研究 专题十二 要点热点探究【解答】(1)由acbcsinBsinAsinC，得acbc bac，即 a2b2c2bc，由余弦定理，得 cosA12，所以 A3.(2)f(x)cos2(xA)sin2(xA)cos2x3 sin2x31cos2x2321cos2x23212cos2x.令 2k2x2k(kZ)，得 kxk2(kZ)，故 f(x)的单调递增区间为k，k2，kZ.【点评】第一小问中，需要将条件acbcsinBsinAsinC统一为三角函数值或边长的等式，从而得到方程求出角或判断三角形形状第二小问，
4、首先还是需要将所给函数进行化归，再通过换元，转化为 ycosx 进行研究专题十二 要点热点探究 专题十二 要点热点探究 向量背景下的三角函数的研究主要指的是所给向量的坐标用三角函数表示，以向量的数量积构造三角函数，并且进一步对所得三角函数进行研究其中向量仅仅在其中起到的是给命题带“帽子”的作用例 2已知 a(sinx,1)，b(1，cosx)，且函数 f(x)ab，f(x)是 f(x)的导函数(1)求函数 F(x)f(x)f(x)f2(x)的最大值和最小正周期；(2)若 f(x)2f(x)，求1sin2xcos2xsinxcosx的值 探究点二 向量背景下的三角函数的研究 专题十二 要点热点探
5、究【解答】(1)f(x)sinxcosx，f(x)cosxsinx，F(x)f(x)f(x)f2(x)cos2xsin2x12sinxcosx1sin2xcos2x1 2sin2x4.当 2x42k2，即 xk8(kZ)时，F(x)max 21，最小正周期为 T22.(2)f(x)2f(x)，sinxcosx2cosx2sinx，cosx3sinx，即 tanx13.1sin2xcos2xsinxcosx 2sin2xcos2xcos2xsinxcosx2tan2x11tanx 11923116.专题十二 要点热点探究【点评】本题中向量仅仅在其中提供数量积，数量积的坐标公式不能用错三角函数性质
6、的研究依然是首先进行三角化归，再换元处理第二小问中涉及将所得齐次的三角分式转化为正切的式子这一三角化简技巧专题十二 要点热点探究 解三角形的实际应用问题主要是测量问题和航行问题，需要将所给实际问题转化为三角形后，用三角形知识和三角函数进行研究例 3 如图 121，一架飞机原计划从空中 A 处直飞相距 680 km的空中 B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在 A 处沿与原飞行方向成 角的方向飞行，在中途 C 处转向与原方向线成 45角的方向直飞到达 B 处已知 sin 513.(1)在飞行路径ABC 中，求 tanC；(2)求新的飞行路程比原路程多多少千米(参考数据：21.414，31.73
7、2)图 121 探究点三 解三角形的实际应用问题 专题十二 要点热点探究【解答】(1)因为 sin 513，是锐角，所以 tan 512，tanCtan(45)tan(45)tantan451tantan4551211 5121177.(2)sinCsin(45)17 226，由正弦定理 ABsinC ACsin45 BCsin，得 AC ABsinCsin45520，BC200 2.新的飞行路程比原路程多ACBCAB520200 2680122.8(km)专题十二 要点热点探究【点评】航行问题中涉及方向角，首先构造相应的三角形或四边形，再将方向角转化为三角形或四边形中的角，这个过程也就是实际
8、问题中的“将实际问题转化为数学问题”建模过程专题十二 要点热点探究 三角函数的实际应用题指的是在实际问题中建立形如 yAsin(x)的函数模型，此类问题多见于几何图形中长度、角度、面积的研究 探究点四 三角函数的实际应用题 专题十二 要点热点探究 例 4 如图 122，某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段 FBC，该曲线段是函数 yAsinx23(A0，0)，x4,0时的图象，且图象的最高点为 B(1,2)赛道的中间部分为长 3千米的直线跑道 CD，且 CDEF.赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE.(1)求 的值和DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛
9、道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路 EF 上，一个顶点在半径 OD 上，另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上，且POE，求当“矩形草坪”的面积取最大值时 的值图 122专题十二 要点热点探究【解答】(1)由条件，得 A2，T43.T2，6，曲线段 FBC 的解析式为 y2sin6x23.当 x0 时，yOC 3.又 CD 3，COD4，即DOE4.(2)由(1)，可知 OD 6.又点 P 在弧 DE 上，故 OP 6.设POE，04，则“矩形草坪”的面积为S 6sin(6cos 6sin)6(sincossin2)612sin212cos212 3 2sin24
10、3.04，故当 242，即 8时，S 取得最大值专题十二 要点热点探究【点评】本题中函数模型已经给定，无需建立，而只需要确定相关系数即可第二小问中建立了面积与角的三角函数关系，用三角函数的性质求出最值而在本题的变式题中用的是求导的方法研究最值如图 123，扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB23，半径 OA 为 1 km，为了方便游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路，道路由圆弧AC、线段 CD 及线段 BD 组成其中 D 在线段 OB 上，且 CDAO，设AOC，(1)用 表示 CD 的长度，并写出 的取值范围；(2)当 为何值时，观光道路最长？图
11、 123 专题十二 要点热点探究 专题十二 要点热点探究【解答】(1)在OCD 中，由正弦定理，得CDsinCODODsinDCOCOsinCDO.又 CDAO，CO1，AOC，所以 CD 23sin23 cos 13sin，OD 23sin.因为 ODOB，所以 sin 32，所以 03.所以 CDcos 13sin，0，3.专题十二 要点热点探究(2)设道路长度为 L()，则 L()BDCD弧 CA 的长1 23sincos 13sincos 13sin1，0，3.L()sin 33 cos1，由 L()0，得 sin6 32.又 0，3，所以 6.列表0，666，3L()0L()增函数极
12、大值减函数所以当 6时，L()达到最大值，即当 6时，观光道路最长规律技巧提炼专题十二 规律技巧提炼 三角函数的综合问题中主要指的是在三角形中、在向量问题中、在实际问题中有关三角函数的运用在这些问题中，要注意以下几个细节：1三角形中要注意正余弦定理以及三角形边长和角之间关系的运用，其中角的范围是这类问题在处理时的细节2向量中的三角函数问题处理时要注意，如果向量的坐标形式与三角函数的定义一致，此时可以适当考虑几何图形的特征3实际问题中建立后的三角函数模型的研究由三种方法：(1)化归成基本三角函数模型研究；(2)用导数研究；(3)用基本不等式研究专题十二 江苏真题剖析 江苏真题剖析例 2010江苏
13、卷 在锐角ABC，A、B、C 的对边分别为a、b、c，baab6cosC，则tanCtanAtanCtanB_.【分析】三角形问题中不仅仅有正余弦定理的运用，也有三角公式和三角化简的技巧的运用在近四年的高考题中，这类三角函数和三角形结合在一起考查的问题也较为常见，难度为基础题和中档题为主【答案】4【解析】方法一：当 AB 或 ab 时满足题意，此时有：cosC13，tan2C21cosC1cosC12，tanC2 22，tanAtanB 1tanC2 2，tanC2 2，故tanCtanAtanCtanB4.方法二：baab6cosC6abcosCa2b2,6aba2b2c22aba2b2，解得 a2b23c22.又tanCtanA tanCtanB sinCcosC cosBsinAsinBcosAsinAsinB sinCcosCsinABsinAsinB 1cosC sin2CsinAsinB，由正弦定理，得上式 1cosCc2ab4.专题十二 江苏真题剖析 在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 1tanAtanB2cb，则角 A 的大小为_ 3【解析】由 1tanAtanB2cb，得sinABcosAsinB 2sinCsinB，即 cosA12，故 A3.专题十二 江苏真题剖析
