1、填空专项集训模板专项集训专题讲座2 题型分类突破一、填空题求解的6种妙招 填空题是高考题中的客观性题型，不要求书写推理或演算过程，只要求直接填写结果，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大等特点常用的求解方法有：直接运算推理、特值代入法、归纳类比猜想、数形结合法、构造法等在解答问题时，由于不要求写出解答过程，只要求填写结论，所以每一个步骤都要正确，还要将结论表达得准确、完整合情推理、优化思路、少算多思都是快速、准确地解答填空题的基本要求 类型一 直接运算推理法根据题意，要求填写数值、数集或数量关系，如：方程的解，不等式的解集，函数的定义域、值域、最值，几何体中的角度、体积等，多采用直接求
2、解法，即直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理等，经过变形、推理、计算、判断得结果，这也是解答填空题的基本方法.已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_.64 a1，a2，a5成等比数列，a22a1a5，(1d)21(4d1)，d22d0.d0，d2.S881872 264.直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键变式训练1(2012江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的
3、方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_43 圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即|4k2|k212.整理，得3k24k0.解得0k43.故k的最大值为43.类型二 特例求解法特例求解法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行.当填空题提供的信息暗示答案唯一或其值为定值时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式.当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例求解
4、法尤其有效.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a，b，c成等差数列，则 cos Acos C1cos Acos C_.45 当abc时，a，b，c成等差数列，令ABC60.则 cos Acos C1cos Acos C12121121245.1凡在一般情况下探求结论的填空题，都可以用特例法求解 2求值或比较大小关系等问题均可利用特殊值法，但要注意这种方法仅限于求值只有一种结果的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，则不能利用这种方法 变式训练2 设坐标原点为O，抛物线y22x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA OB _.34 取直线ABx轴这种特殊情形 由y22x
5、，知焦点F12，0，取直线x12交点A12，1，B12，1.OA OB 12，1 12，1 14134.类型三 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜率或截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多.已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有_个 10 如图，作出图象
6、可知yf(x)与y|lg x|的图象共有10个交点 利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果变式训练3 若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_(1，)函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa交点的个数，由函数的图象如图所示，可知a1时两函数图象有两个交点，0a1时两函数图象有唯一交点，故a1.类型四 构造法在解题时，有时需要根据题目的具体情况，构造出一些新的数学形式、新的模式解题，并借助它认识和解决问题，通常称之为构
7、造模式解法，简称构造法.构造的方向可以是函数、方程、不等式、数列、几何图形等.在三棱锥P-ABC中，PABC234，PBAC10，PCAB2 41，则三棱锥P-ABC的体积为_ 160 如图所示，把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC，易知三棱锥P-ABC的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PEx，EBy，EAz，则由已知有：x2y2100，x2z2136，y2z2164，解得x6，y8，z10，所以VP-ABCVAEBG-FPDCVP-AEBVC-ABGVB-PDCVA-FPC VAEBG-FPDC4VP-AEB 68104166810160.故所求三棱锥P-ABC的体积为160
8、.构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等变式训练4 在数列an中，a11，且an12an1，则数列an的通项公式an_.2n1 由an12an1，得 an112(an1)(nN*)令an1bn，则bn12bn(nN*)又b1a1120，从而bn0，所以数列bn是以b12为首项，以2为公比的等比数列，从而bn22n12n，所以an2n1.类型五 归纳类比
9、猜想归纳推理填空题的求解，一般是由题目的已知可以得出几个结论或直接给出了几个结论，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题.归纳推理是从个别或特殊的认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想.,类比猜想是根据两个相似类型的对象进行比较，根据两个对象相似特征，由某个对象的性质通过合情推理得到另一个对象的性质，由此及彼.观察下列等式：cos 22cos21；cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101 280cos81 1
10、20cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.【导学号：91632075】962 观察等式右边第一列系数，易看出221,823,3225,12827，所以m29512；再看所有cos2的系数，从上到下依次是2122，2228,23218，24232，所以p25250.又观察式可知等式右边各项系数和为1，所以m1 2801 120np11，得n400，故mnp962.解决这类问题的关键是找准归纳对象如m的位置在最高次幂的系数位置，因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行归纳；p是cos2的系数，所以从cos2 的系数入手进行归纳n却不能从cos4 的系数入手进行归纳，因为第个式子中没有
11、cos4，缺少归纳的特征项变式训练5 已知f1(x)sinxcosx，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 014(x)_.cos xsin x f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，由此归纳，知f(x)的周期为4，即fn(x)fn4(x)所以f2 014(x)f2(x)cos xsin x类型六 等价转化法等价转化是把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法，
12、通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR，若e1，e2的夹角为6，则|x|b|的最大值等于 _.2 当x0时，|x|b|0；当x0时，|x|b|x|xe1ye22|x|x2y2 3xy 1x2y2 3xyx21yx2 3yx 11yx 32214，所以|x|b|的最大值为2.等价转化思想方法的特点是灵活性和多样性它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形消元法、换元法
13、、数形结合法、求值求范围问题等，都体现了等价转化思想变式训练6 设F1，F2分别是椭圆 x225 y2161的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_15|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于点P(图略)，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|10 6324215.填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现
14、了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了.填空专项集训（一）点击图标进入 填空专项集训（二）点击图标进入 二、快捷解答主观题答题模板 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，本节结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零，强调解题程
15、序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化 模板1|三角函数的周期性、单调性及最值问题【例1】(满分14分)设函数f(x)32 3sin2xsin xcos x(0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求的值；(2)求f(x)在区间，32 上的最大值和最小值解题指导 化简变形fxAsinx根据周期求 确定x的范围 求fx的最值 规范解答示例 构建答题模板(1)f(x)32 3sin2 xsin xcos x 32 31cos 2x212sin 2x2分 32 cos 2x12sin 2x sin2x3.4分 因为图象的一个对称中心到
16、最近的对称轴的距离为 4，又0，所以 22 44，6分 因此1.7分(2)由(1)知f(x)sin2x3.当x32 时，53 2x383.9分 所以 32 sin2x3 1.因此1f(x)32.12分 故f(x)在区间，32 上的最大值和最小值分别为 32，1.14分第一步三角函数式的化简，一般化成yAsin(x)h或yAcos(x)h的形式第二步利用性质条件确定A，的值第三步将“x”看作一个整体确定其范围第四步结合图象及所求 x 的范围确定相关问题第五步明确规范地表达结论.反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.模板2|三角变换与解三角形问题【例2】(满分14分)在ABC中，若acos2C2
17、ccos2A232b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)求角B的取值范围解题指导(1)化简变形 用余弦定理转化为边的关系 变形证明 (2)用余弦定理表示角 用均值不等式求范围 确定角的取值范围 规范解答示例 构建答题模板(1)证明：因为acos2C2ccos2A2a1cos C2c1cos A232b，所以ac(acos Cccos A)3b，4分 故acaa2b2c22abcb2c2a22bc3b，整理得ac2b，故a，b，c成等差数列.8分(2)cos Ba2c2b22aca2c2ac222ac 3a2c22ac8ac6ac2ac8ac12，12分 因为0B，所以0b0)的离心率e
18、32，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(a,0)，若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且Q AQ B4，求y0的值解题指导(1)离心率、菱形面积 关于a，b的方程 求a，b，写出椭圆方程 (2)设出直线l的方程 直线与椭圆方程联立 分情况求线段AB的垂直平分线 Q AQ B用斜率k表示 解方程求k 规范解答示例 构建答题模板(1)由eca 32，得3a24c2.再由c2a2b2，解得a2b.2分 由题意可知122a2b4，即ab2.解方程组a2b，ab2，得a2，b1.所以椭圆的方程为x24y21.
19、4分(2)由(1)知，点A的坐标是(2,0)，且直线l的斜率必存在设点B(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组ykx2，x24y21，消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由根与系数的关系，得2x116k2414k2，所以x128k214k2，从而y14k14k2.所以B为28k214k2，4k14k2，因此线段AB的中点M为 8k214k2，2k14k2.8分 以下分两种情况：当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA(2，y0)，QB(2，y0)由QA QB 4，得y02 2.10分 当
20、k0时，线段AB的垂直平分线方程为y2k14k21kx 8k214k2.令x0，解得y06k14k2.由QA(2，y0)，QB(x1，y1y0)，12分 QA QB 2x1y0(y1y0)228k214k26k14k2 4k14k26k14k2 416k415k2114k224，整理，得7k22.所以k 147，代入得y02 145.综上，y02 2或y02 145.14分第一步由离心率，得a2b.第二步根据菱形的面积求a，b，确定椭圆方程第三步设直线l的方程，联立椭圆方程，用k表示点B的坐标第四步求出线段AB的中点M的坐标第五步当k0时，求y0.第六步当k0时，用k表示线段AB的垂直平分线，
21、并用k表示y0.第七步根据Q AQ B4，求出k值，从而求出y0的值模板5|应用问题【例5】(满分14分)(2016南京模拟)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3.问：P能否大于 120，说明理由 规范解答示例 构建答题模板(1)依题意得 ymknmk(
22、ax5)，xN*.4分(2)依题意x0.2a.6分 所以Pmxy xkax50.2ak 0.2a25aka225 8分 a3a22513a25a132a25a 130 120.13分 即P不可能大于 120.14分第一步依据题设信息建模第二步借助数学知识解模第三步依据模型对实际问题作出数据(或理论指导)第四步下结论模板6|函数的单调性、最值、极值问题【例6】(满分16分)已知函数f(x)aln x2a2x x(a0)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)当a(，0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(
23、a)12e2.解题指导(1)f(1)2求a.(2)讨论f(x)0或f(x)0f(x)ax2a2x2 1(x0)根据题意，有f(1)2，所以2a2a30，解得a1或a32.4分(2)f(x)ax2a2x2 1x2ax2a2x2xax2ax2(x0).6分 当a0时，因为x0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得xa；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0 xa.所以函数f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减.8分 当a0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得x2a；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0 x0(k1,2，2 004)，即An是递增数列.14分 综上可知，E数列An是递增数列的充要条件是an2 016.16分第一步依据E数列定义，分别求a2，a4，a5，进而写出一个E数列A5(不唯一)第二步由An的单调性，去绝对值，利用等差数列求an.第三步利用不等式的性质，判定|ak1ak|10.第四步根据充要条件的意义，得证结论第五步反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范模板专项集训 点击图标进入
