1、专题课堂(三)二次函数的应用第26章 二次函数类型一 抛物线形问题1如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 y35 x23x1 的一部分(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高 BC3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成功？请说明理由解：(1)y35 x23x135(x52)2194，当 x52 时，y 有最大值194，演员弹跳离地面的最大高度是194 米(2)表演成功理由：把 x4 代入抛物线表达式，得 y3.4，即点 B(4，3.4)在抛物线 y35 x23x1 上，
2、这次表演成功2如图，某公路隧道横截面为抛物线形，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的表达式；(3)若要搭建一个矩形支撑架ADDCCB，使C，D两点在抛物线上，A，B两点在地面OM上，则这个支撑架总长的最大值是多少？解：(1)M(12，0)，P(6，6)(2)设这条抛物线的表达式为 ya(x6)26.抛物线 ya(x6)26 经过点(0，0)，可得 a16，这条抛物线的表达式为 y16(x6)26，即 y16 x22x(3)设点 A(m，0)，则点 B(12m，0)，点C(12m，1
3、6 m22m)，点 D(m，16 m22m)，支撑架总长 ADDCCB(16 m22m)(122m)(16 m22m)13 m22m1213(m3)215.此二次函数的图象开口向下，当 m3 时，ADDCCB 有最大值，最大值为 15 米类型二 面积问题3(2022湘潭)为落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙，围成、两块矩形劳动实践基地某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图，全部利用围墙的长度，但要在区中留一个宽度AE1 m的水池，且需保
4、证总种植面积为32 m2，试分别确定CG，DG的长；(2)方案二：如图，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？解：(1)(2112)33(m)，、两块矩形的面积为 12336(m2)，总种植面积为 32 m2，水池的面积为 36324(m2)，AE1 m，DG4 m，CGCDDG1248(m)，即 CG 的长为 8 m，DG 的长为 4 m(2)设 BC 长为 x m，则 CD 长度为(213x)m，总种植面积为(213x)x3(x27x)3(x72)21474，30，当 x72 时，总种植面积有最大值为1474m2，即 BC 应设计为72m 时总种植面积最
5、大，此时最大面积为1474m2类型三 利润问题4(2022贺州)2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？解：(1)根据题意，得 y200412(x48)2x296，y 与 x 之间的函数关系式为 y2x296(2)根据题意，得 W(x34)
6、(2x296)2(x91)26498，a20，抛物线开口向下，W 有最大值，当 x91 时，W 最大值6498，答：每套售价定为 91 元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是 6498 元5(2022盘锦)某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？解：(1)设一次函数的关系式为 ykxb，由图可知，函数图象过点(25，50)和点(35，30).把这两点的坐标代入一次函数 ykxb，得25kb50，35kb30，解得k2，b100，一次函数的关系式为 y2x100(2)由题意，得(x10)(2x100)600，解得 x140，x220，当天玩具的销售单价是 40 元或 20 元(3)根据题意，得 w(x10)(2x100)，整理得 w2(x30)2800.20，当 x30 时，w 有最大值，最大值为 800 元当玩具的销售单价定为 30 元时，日销售利润最大，最大利润是 800 元
