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广西桂林市2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理)试题 WORD版含解析 .docx

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资源描述

1、广西桂林市2020-2021学年高二下学期期末数学(理)试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的1.函数 f(x)=ex ,则 f(0)= ( ) A.0B.1C.eD.1e2.设复数 z=2-i ,则 z 的实部为( ) A.-1B.2C.-2D.i3.用反证法证明“ 2 是无理数”时,正确的假设是( ) A.2 不是无理数B.2 是整数C.2 不是有理数D.2 是无理数4.5个人排成一排照相,其中的甲乙两人要相邻,则有不同的排法种数为( ) A.24种B.36种C.48种D.72种5.1+3x+3x2+x3= ( ) A.(

2、x+1)3B.(x-1)3C.(x+1)4D.x46.在样本频率分布直方图中,各小长方形的高的比从左到右依次为 2:4:3 ,则第2组的频率是( ) A.0.4B.0.3C.0.2D.0.17.向量 a=(2,4,5) ,向量 b=(1,2,t) ,若 ab ,则实数 t= ( ) A.52B.1C.-2D.-858.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,记事件A为“取到的2个数之和为偶数”,记事件B为“取到的两个数均为偶数”,则 P(B|A)= ( ) A.18B.14C.25D.129.若随机变量X的分布列如下表所示,则a的值为()X123P0.2a3aA.0.1B.0.2C.0.3D.

3、0.410.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.6311.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(2X4)=0.682 ,则 P(X4)= ( ) A.0.0799B.0.1587C.0.3D.0.341312.若函数 f(x)=ex-2ax2+1 有两个不同的极值点,则实数 a 的取值范围是( ) A.ae4B.0ae4C.a-e4D.-e4a4)= ( ) A.0.0799B.0.1587C.0.3D.0.3413【答案】 B 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】解

4、:X 服从正态分布N(3,1) , 且P(2X4)=0.682 PX4=1-P2Xe4B.0ae4C.a-e4D.-e4a0,可得x1;令g(x)0,可得xe4 故答案为:A 【分析】根据化归思想,将函数有两个不同的极值点等价转化为方程有两个不同的实数根,运用数形结合思想,结合利用导数研究函数的单调性与最值求解即可.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.某校有学生4500人,其中高三学生1500人,为了解学生的身体素质情况,采用按年级分层抽样的方法,从该校学生中抽取一个300人的样本则样本中高三学生的人数为_ 【答案】 100 【考点】分层抽样方法 【解析】【解答】解:根据分层抽

5、样,易得样本中高三学生的人数为30045001500=100 故答案为:100 【分析】根据分层抽样直接求解即可.14.已知 i 为虚数单位,则 (2-3i)(i+1)= _ 【答案】5-i【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解:(2-3i)(i+1)=2i+2-3i2-3i=5-i 故答案为:5-i 【分析】根据复数的运算直接求解即可.15.1e1xdx= _. 【答案】 1 【考点】定积分 【解析】【解答】易知 (lnx)=1x .故 1e1xdx=lnx|1e=lne-ln1=1 . 【分析】由于 (lnx)=1x ,利用微积分基本定理,直接求得定积分的值.16.在 ABC

6、中, BAC=90 , AB=6 , AC=8 , D 是斜边上一点,以 AD 为棱折成二面角 C-AD-B ,其大小为60,则折后线段 BC 的最小值为_ 【答案】27【考点】向量的线性运算性质及几何意义,与二面角有关的立体几何综合题,二面角的平面角及求法,同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解:如图,过C,B作AD的垂线,垂足分别为E,F,故BFEF,ECEF, 所以BFFE=0,FEEC=0 以AD为棱折叠后,则有BC=BF+FE+EC 故BC2=BF+FE+EC2=BF2+FE2+EC2+2BFEC+2BFFE+2FEEC=BF2+FE2+EC2+2BFE

7、C 因为以D为棱折成60的二面角C-AD-B 所以BF与EC的夹角为120 令BAD=,则CAE=90-, 在RtABF中,BF=ABsin=6sin,AF=6cos, 在RtACE中,EC=ACsin(90-)=8cos,AE=ACcos(90-)=8sin, 故EF=AE-AF=8sin-6cos, 所以BC2=6sin2+8sin-6cos2+8cos2+26sin8cos-12=36sin2+cos2+64sin2+cos2-144sincos=100-72sin2 故当=45时,BC2有最小值28 故线段BC最小值为27 故答案为:27 【分析】根据向量的线性运算,结合二面角的定义以

8、及同角三角函数的基本关系、诱导公式求解即可.三、解答题:本题共6小题,共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17.在 (x2+1x)6 的展开式中,求 (1)含 x3 的项; (2)展开式中的常数项 【答案】 (1)由题意知 Tr+1=C6r(x2)6-r(1x)r=C6rx12-3r , r=0 ,1,2,3,4,5,6; 令 12-3r=3 ,得 r=3 ,所以含 x3 的项为 T4=C63x3=20x3 (2)由(1)知 12-3r=0 ,得 r=4 , 所以常数项为 T5=C64=15 【考点】二项式系数的性质,二项式定理的应用 【解析】【分析】(1)(2)根据二项展开式通项公

9、式求解即可;18.已知函数 f(x)=x3+ax2-9x+10(aR) (1)当 a=0 时,求 f(x) 的图象在点 (2,f(2) 处的切线方程; (2)设 x=-1 是 f(x) 的极值点,求 f(x) 的极小值 【答案】 (1)即 f(x)=x3-9x+1 , f(x)=3x2-9 ; 则 k=f(2)=3 , f(2)=0 ,故所求切线方程为 y=3(x-2) ,即 y=3x-6 (2)f(x)=3x2+2ax-9 ,由题知 f(-1)=0 , 解得 a=-3 ,则 f(x)=x3-3x2-9x+10 , f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) ,当 -1x3 时 f(x

10、)3 时 f(x)0所以当 x=3 时 f(x) 取极小值 f(3)=-17 【考点】导数的几何意义,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可; (2)根据函数极值的性质,结合利用导数研究函数的极值直接求解即可.19.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,点 E 在棱 AA1 上, BEEC1 (1)证明: BE 平面 EB1C1 ; (2)若 AE=A1E , AD=1 ,求二面角 B-EC-C1 的余弦值 【答案】 (1)由已知得, B1C1 平面 ABB1A1 , BE 平面 ABB1A1 ,

11、故 B1C1BE又 BEEC1 ,所以 BE 平面 EB1C1(2)由(1)知 BEB1=90 由题设知 RtABERtA1B1E ,所以 AEB=45 , 故 AE=AB , AA1=2AB以 D 为坐标原点, DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ,则C(0,1,0) , B(1,1,0) , C1(0,1,2) , E(1,0,1) ,CB=(1,0,0) , CE=(1,-1,1) , CC1=(0,0,2)设平面 EBC 的法向量为 n=(x1,y1,z1) ,则 CBn=0CEn=0 即 x1=0,x1-y1+z1=0, 所以可取 n=(0,-1,

12、-1)设平面 ECC1 的法向量为 m=(x2,y2,z2) ,则 CC1m=0CEm=0 ,即 z2=0,x2-y2+z2=0, 可取 m=(1,1,0)于是 cosn,m=nm|n|m|=-12所以,二面角 B-EC-C1 的余弦值为 -12 【考点】直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质,用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】(1)根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可; (2)利用向量法直接求解即可.20.已知数列 an 的前 n 项和 Sn=2n-an (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ,并猜想 an 的通项公式; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想

13、【答案】 (1)当 n=1 时, a1=s1=2-a1 , a1=1 ; 当 n=2 时, a1+a2=s2=22-a2 , a2=32 ;当 n=3 时, a1+a2+a3=s3=23-a3 , a3=74 ;当 n=4 时, a1+a2+a3+a4=s4=24-a4 , a4=158 由此猜想 an=2n-12n-1(nN*) (2)证明:当 n=1 时, a1=1 ,猜想成立 假设 n=k ( k1 且 kN* )时,猜想立,即 ak=2k-12k-1 ,那么 n=k+1 时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1 , ak+1=2+ak2=2

14、+2k-12k-12=2k+1-12k 当 n=k+1 时,猜想成立由知猜想 an=2n-12n-1(nN*) 成立【考点】数列递推式,数学归纳法 【解析】【分析】(1)根据an与sn的关系直接求解, (2)根据数学归纳法直接证明即可.21.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中,两人一对一比赛规则如下:若某人某次投篮命中,则由他继续投篮,否则由对方接替投篮现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛,甲和乙每次投篮命中的概率分别是 13 , 12 两人共投篮3次,且第一次由甲开始投篮,假设每人每次投篮命中与否均互不影响 (1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率; (2)若投篮命中一次得1分,否则得0分,用

15、 X 表示甲的总得分,求 X 的分布列和数学期望 【答案】(1)记“3次投篮的人依次是甲,甲,乙”为事件A,依题意,得P(A)=1323=293次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29(2)由题意X可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=2312+231223=59,P(X=1)=231213+1323=13,P(X=2)=131323=227,P(X=3)=131313=127;所以,分布列为X0123P5913227127所以X的期望E(X)=059+113+2227+3127=1627【考点】相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析

16、】(1)根据独立事件的概率直接求解即可; (2)根据独立事件,结合离散型随机变量的分布列与期望求解即可.22.已知函数 f(x)=lnx-ax(aR) (1)若 f(x) 在 (0,+) 单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若 h(x)=xf(x) ,且 h(x) 仅有一个极值点 x0 ,求实数 a 的取值范围,并证明: h(x0)-1e 【答案】 (1)f(x)=1x-a(x0)f(x) 在 (0,+) 单调递增, f(x)0 在 (0,+) 恒成立 a1x 在 (0,+) 恒成立, a0 (2)设 g(x)=h(x)=1+lnx-2ax , g(x)=1x-2a , 当 a0 时,令

17、 g(x)=1x-2a=0 得: x=12a ,x(0,12a) , g(x)0 , g(x) 单调递增, x(12a,+) , g(x)0 , h(12a)0 ,而 h(1e)=-2ae0 , h(1a2)=-2lna+1-2a0 不符合题意当 a=0 时, x(0,1e) , h(x)0 , h(x) 单调递增,所以 h(x) 有唯一极小值点 1e , h(1e)=-1e 当 a0 恒成立, g(x)=h(x) 单调递增;取 b 满足 0b-12a 且 0b1e2 时, h(b)0 ,此时由零点存在定理知: h(x)=0 有唯一的零点 x0 , h(x) 只有一个极值点 x0 ,且 x0(

18、0,1e) ,由题知 h(x0)=x0lnx0-ax02 ,又 h(x0)=1+lnx0-2ax0=0 , ax0=12(1+lnx0) , h(x0)=x0lnx0-12x0(1+lnx0)=12x0lnx0-12x0 ,设 u(x)=12xlnx-12x , u(x)=12lnx ,当 x(0,1e) , u(x)u(1e)=-1e , h(x0)-1e 成立综上, h(x) 只有一个极值点 x0 时, a 的取值范围为 (-,0 ,且 h(x0)-1e 【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理 【解析】【分析】(1)根据化归思想,将函数的单调性问题等价转化为不等式恒成立问题,再转化为求函数的最值问题即可; (2)构造函数g(x)=h(x),利用导数g(x)研究函数g(x)的单调性与最值,再结合分类讨论思想与零点存在定理求解即可.

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