1、广西桂林市2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.函数 f(x)=ex ，则 f(0)= （ ） A.0B.1C.eD.1e2.设复数 z=2-i ，则 z 的实部为（ ） A.-1B.2C.-2D.i3.用反证法证明“ 2 是无理数”时，正确的假设是（ ） A.2 不是无理数B.2 是整数C.2 不是有理数D.2 是无理数4.5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（ ） A.24种B.36种C.48种D.72种5.1+3x+3x2+x3= （ ） A.(
2、x+1)3B.(x-1)3C.(x+1)4D.x46.在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为 2:4:3 ，则第2组的频率是（ ） A.0.4B.0.3C.0.2D.0.17.向量 a=(2,4,5) ，向量 b=(1,2,t) ，若 ab ，则实数 t= （ ） A.52B.1C.-2D.-858.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件A为“取到的2个数之和为偶数”，记事件B为“取到的两个数均为偶数”，则 P(B|A)= （ ） A.18B.14C.25D.129.若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（）X123P0.2a3aA.0.1B.0.2C.0.3D.
3、0.410.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为（ ） A.23B.33C.23D.6311.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ，且 P(2X4)=0.682 ，则 P(X4)= （ ） A.0.0799B.0.1587C.0.3D.0.341312.若函数 f(x)=ex-2ax2+1 有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A.ae4B.0ae4C.a-e4D.-e4a4)= （ ） A.0.0799B.0.1587C.0.3D.0.3413【答案】 B 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】解
4、：X 服从正态分布N(3,1) ， 且P(2X4)=0.682 PX4=1-P2Xe4B.0ae4C.a-e4D.-e4a0,可得x1；令g(x)0,可得xe4 故答案为：A 【分析】根据化归思想，将函数有两个不同的极值点等价转化为方程有两个不同的实数根，运用数形结合思想，结合利用导数研究函数的单调性与最值求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本则样本中高三学生的人数为_ 【答案】 100 【考点】分层抽样方法 【解析】【解答】解：根据分层抽
5、样，易得样本中高三学生的人数为30045001500=100 故答案为：100 【分析】根据分层抽样直接求解即可.14.已知 i 为虚数单位，则 (2-3i)(i+1)= _ 【答案】5-i【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：(2-3i)(i+1)=2i+2-3i2-3i=5-i 故答案为：5-i 【分析】根据复数的运算直接求解即可.15.1e1xdx= _. 【答案】 1 【考点】定积分 【解析】【解答】易知 (lnx)=1x .故 1e1xdx=lnx|1e=lne-ln1=1 . 【分析】由于 (lnx)=1x ，利用微积分基本定理，直接求得定积分的值.16.在 ABC
6、中， BAC=90 ， AB=6 ， AC=8 ， D 是斜边上一点，以 AD 为棱折成二面角 C-AD-B ，其大小为60，则折后线段 BC 的最小值为_ 【答案】27【考点】向量的线性运算性质及几何意义，与二面角有关的立体几何综合题，二面角的平面角及求法，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：如图，过C，B作AD的垂线，垂足分别为E,F，故BFEF,ECEF， 所以BFFE=0,FEEC=0 以AD为棱折叠后，则有BC=BF+FE+EC 故BC2=BF+FE+EC2=BF2+FE2+EC2+2BFEC+2BFFE+2FEEC=BF2+FE2+EC2+2BFE
7、C 因为以D为棱折成60的二面角C-AD-B 所以BF与EC的夹角为120 令BAD=，则CAE=90-， 在RtABF中，BF=ABsin=6sin，AF=6cos， 在RtACE中，EC=ACsin(90-)=8cos，AE=ACcos(90-)=8sin， 故EF=AE-AF=8sin-6cos， 所以BC2=6sin2+8sin-6cos2+8cos2+26sin8cos-12=36sin2+cos2+64sin2+cos2-144sincos=100-72sin2 故当=45时，BC2有最小值28 故线段BC最小值为27 故答案为：27 【分析】根据向量的线性运算，结合二面角的定义以
8、及同角三角函数的基本关系、诱导公式求解即可.三、解答题：本题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17.在 (x2+1x)6 的展开式中，求 （1）含 x3 的项； （2）展开式中的常数项 【答案】 （1）由题意知 Tr+1=C6r(x2)6-r(1x)r=C6rx12-3r ， r=0 ，1，2，3，4，5，6； 令 12-3r=3 ，得 r=3 ，所以含 x3 的项为 T4=C63x3=20x3 （2）由（1）知 12-3r=0 ，得 r=4 ， 所以常数项为 T5=C64=15 【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用 【解析】【分析】（1）（2）根据二项展开式通项公
9、式求解即可；18.已知函数 f(x)=x3+ax2-9x+10(aR) （1）当 a=0 时，求 f(x) 的图象在点 (2,f(2) 处的切线方程； （2）设 x=-1 是 f(x) 的极值点，求 f(x) 的极小值 【答案】 （1）即 f(x)=x3-9x+1 ， f(x)=3x2-9 ； 则 k=f(2)=3 ， f(2)=0 ，故所求切线方程为 y=3(x-2) ，即 y=3x-6 （2）f(x)=3x2+2ax-9 ，由题知 f(-1)=0 ， 解得 a=-3 ，则 f(x)=x3-3x2-9x+10 ， f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) ，当 -1x3 时 f(x
10、)3 时 f(x)0所以当 x=3 时 f(x) 取极小值 f(3)=-17 【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）根据函数极值的性质，结合利用导数研究函数的极值直接求解即可.19.如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上， BEEC1 （1）证明： BE 平面 EB1C1 ； （2）若 AE=A1E ， AD=1 ，求二面角 B-EC-C1 的余弦值 【答案】 （1）由已知得， B1C1 平面 ABB1A1 ， BE 平面 ABB1A1 ，
11、故 B1C1BE又 BEEC1 ，所以 BE 平面 EB1C1（2）由（1）知 BEB1=90 由题设知 RtABERtA1B1E ，所以 AEB=45 ， 故 AE=AB ， AA1=2AB以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ，则C(0,1,0) ， B(1,1,0) ， C1(0,1,2) ， E(1,0,1) ，CB=(1,0,0) ， CE=(1,-1,1) ， CC1=(0,0,2)设平面 EBC 的法向量为 n=(x1,y1,z1) ，则 CBn=0CEn=0 即 x1=0,x1-y1+z1=0, 所以可取 n=(0,-1,
12、-1)设平面 ECC1 的法向量为 m=(x2,y2,z2) ，则 CC1m=0CEm=0 ，即 z2=0,x2-y2+z2=0, 可取 m=(1,1,0)于是 cosn,m=nm|n|m|=-12所以，二面角 B-EC-C1 的余弦值为 -12 【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可； （2）利用向量法直接求解即可.20.已知数列 an 的前 n 项和 Sn=2n-an （1）计算 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ，并猜想 an 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想
13、【答案】 （1）当 n=1 时， a1=s1=2-a1 ， a1=1 ； 当 n=2 时， a1+a2=s2=22-a2 ， a2=32 ；当 n=3 时， a1+a2+a3=s3=23-a3 ， a3=74 ；当 n=4 时， a1+a2+a3+a4=s4=24-a4 ， a4=158 由此猜想 an=2n-12n-1(nN*) （2）证明：当 n=1 时， a1=1 ，猜想成立 假设 n=k （ k1 且 kN* ）时，猜想立，即 ak=2k-12k-1 ，那么 n=k+1 时， ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1 ， ak+1=2+ak2=2
14、+2k-12k-12=2k+1-12k 当 n=k+1 时，猜想成立由知猜想 an=2n-12n-1(nN*) 成立【考点】数列递推式，数学归纳法 【解析】【分析】（1）根据an与sn的关系直接求解， （2）根据数学归纳法直接证明即可.21.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是 13 ， 12 两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响 （1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率； （2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用
15、 X 表示甲的总得分，求 X 的分布列和数学期望 【答案】（1）记“3次投篮的人依次是甲，甲，乙”为事件A，依题意，得P(A)=1323=293次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=2312+231223=59，P(X=1)=231213+1323=13，P(X=2)=131323=227，P(X=3)=131313=127；所以，分布列为X0123P5913227127所以X的期望E(X)=059+113+2227+3127=1627【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析
16、】（1）根据独立事件的概率直接求解即可； （2）根据独立事件，结合离散型随机变量的分布列与期望求解即可.22.已知函数 f(x)=lnx-ax(aR) （1）若 f(x) 在 (0,+) 单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）若 h(x)=xf(x) ，且 h(x) 仅有一个极值点 x0 ，求实数 a 的取值范围，并证明： h(x0)-1e 【答案】 （1）f(x)=1x-a(x0)f(x) 在 (0,+) 单调递增， f(x)0 在 (0,+) 恒成立 a1x 在 (0,+) 恒成立， a0 （2）设 g(x)=h(x)=1+lnx-2ax ， g(x)=1x-2a ， 当 a0 时，令
17、 g(x)=1x-2a=0 得： x=12a ，x(0,12a) ， g(x)0 ， g(x) 单调递增， x(12a,+) ， g(x)0 ， h(12a)0 ，而 h(1e)=-2ae0 ， h(1a2)=-2lna+1-2a0 不符合题意当 a=0 时， x(0,1e) ， h(x)0 ， h(x) 单调递增，所以 h(x) 有唯一极小值点 1e ， h(1e)=-1e 当 a0 恒成立， g(x)=h(x) 单调递增；取 b 满足 0b-12a 且 0b1e2 时， h(b)0 ，此时由零点存在定理知： h(x)=0 有唯一的零点 x0 ， h(x) 只有一个极值点 x0 ，且 x0(
18、0,1e) ，由题知 h(x0)=x0lnx0-ax02 ，又 h(x0)=1+lnx0-2ax0=0 ， ax0=12(1+lnx0) ， h(x0)=x0lnx0-12x0(1+lnx0)=12x0lnx0-12x0 ，设 u(x)=12xlnx-12x ， u(x)=12lnx ，当 x(0,1e) ， u(x)u(1e)=-1e ， h(x0)-1e 成立综上， h(x) 只有一个极值点 x0 时， a 的取值范围为 (-,0 ，且 h(x0)-1e 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理 【解析】【分析】（1）根据化归思想，将函数的单调性问题等价转化为不等式恒成立问题，再转化为求函数的最值问题即可； （2）构造函数g(x)=h(x)，利用导数g(x)研究函数g(x)的单调性与最值，再结合分类讨论思想与零点存在定理求解即可.