1、2021年广西桂林市、崇左市高考数学第二次联考试卷（理科）（5月份）1. 设集合A=x|-1x1，B=x|x2-x0，则AB=()A. x|-1x0B. x|-1x0C. x|0x1D. x|0x12. 已知复数z满足(i-2)z=i+1，则z-=()A. -15-35iB. -15+35iC. 15-35iD. 15+35i3. 若x、y满足约束条件x+10y-202x-y-20，则z=x+y的最大值是()A. -5B. 1C. 2D. 44. 已知(0,2)，2sin2=cos2+1，则sin=()A. 15B. 55C. 33D. 2555. 设两组数据分别为x1，x2，x9和x2，x3
2、，x8，且x1x2x3x4x80,b0的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A、B两点，若OAFB四点共圆(为坐标原点)，则双曲线的离心率为_ .16. 已知函数f(x)=|ln(x-1)|，f(a)f(b)，以下命题：若a2，则ab；若ab，则a2；若a2，则1a+1b2，则1a+1b1.其中正确的序号是_ .17. 在ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边的长a=7，c=1，sinA+3cosA+1=0.(1)求b；(2)若D为BC边上一点，且ADAB，求ACD的面积.18. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E、F、M、N分别为棱CC1、B
3、C、BB1、AA1的中点.求证：B1D1E平面C1MN；若平面AFM平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值.19. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点E(-1,0)，圆x2+y2=r2(r0)与抛物线C交于A，B两点，直线BE与抛物线交点为D.(1)求证：直线AD过焦点F；(2)过F作直线MNAD，交抛物线C于M，N两点，求四边形ANDM面积的最小值.20. 十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的未成年人保护法针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度.某中学为宣传未
4、成年保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为p1，p2.(1)若p1=34，p2=23，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；(2)当p1+p2=65，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？21. 已知函数f(x)=xlnxa(a0)，f(x)为f(x)的导函数.(1)设g(x)=f(x)-lna2x2，讨论函数g(x)的单调性；(2)若点A(x1,y
5、1)，B(x2,y2)(x1x2)均在函数y=f(x)的图象上，设直线AB的斜率为k，证明：1x2k0),l1,l2分别交曲线C于点M，N两点，求1|OM|2+1|ON|2的最小值.23. 已知函数f(x)=2|x+1|-|x-2|.(1)解不等式：f(x)7；(2)已知实数x0满足：对xR都有f(x)f(x0)，若a，b，cR*且a+b+c+f(x0)=0，求1a+4b+9c最小值.答案和解析1.【答案】C【解析】解：A=x|-1x1，B=x|0x1，AB=x|0x0，cos0，可得cos=2sin，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin的值【解答】解：2sin2=cos2+1，由二倍角公
6、式可得4sincos=2cos2，(0,2)，sin0，cos0，cos=2sin，则有sin2+cos2=sin2+(2sin)2=5sin2=1，解得sin=55.故选B.5.【答案】A【解析】解：由题意知，按从小到大排列的数据x1，x2，x9的中位数是x5，数据x2，x3，x8的中位数也是x5，所以这两组数据的中位数相等，极差一定变小，方差、平均数都不能确定故选：A.根据中位数、极差和方差、平均数的定义，判断即可本题考查了中位数、极差和方差、平均数的定义与应用问题，是基础题6.【答案】A【解析】解：f(-x)+f(x)=lg1-sinxcosx+lg1+sinxcosx=lg1-sin2
7、xcos2x=0f(-x)=-f(x)，可知：f(x)是奇函数，排除C、D，在(0,2)上，1+sinxcosx1，lg1+sinxcosx0，故选：A.先判断为奇函数，再根据函数值的特点即可判断本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题7.【答案】B【解析】解：(x+2)3的展开式的通项公式是：Tr+1=C3rx3-r2r，r=0，1，2，3，(2x-1)(x+2)3的展开式中x2项的系数为2C3222-C312=18.故选：B.先求(x+2)3的展开式，再求出x2项的系数本题主要考查二项式定理，属于基础题8.【答案】B【解析】【分析】本题考查由三视图求面积，关
8、键是由三视图还原原几何体，是中档题由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA底面ABC.然后由直角三角形面积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，BCAC，PA底面ABC.又BC底面ABC，故PABC，ACPA=A，AC，PA面PAC，BC面PAC，又PC面PAC，则BCPC.该几何体的表面积S=12(34+54+34+45)=32.故选：B.9.【答案】B【解析】解：数列an满足a1=1，an+1=an2an+1，则1an+1=2an+1an=1an+2，故1an+1-1an=2(常数)，所以数列1an是以1a1=1为首项，
9、2为公差的等差数列，所以1an=1+2(n-1)=2n-1，则an=12n-1，an+1=12n+1，所以anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，故Tn=12(1-13+13-15+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1.故选：B.首先利用关系式的变换，整理得1an+1-1an=2，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法的应用求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题10.【答案】D【解析】解：|AF2|=2|F2B|，所以可得|A
10、B|=32|AF2|，又因为|AB|=32|AF1|，所以可得|AF1|=|AF2|，即A为短轴的顶点，设A为短轴的上顶点(0,b)，F2(0,1)，c=1，所以|AF2|=b2+1=a，所以直线AB的方程为：y=-b(x-1)，由题意设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1，则c=1，联立x2a2+y2b2=1y=-b(x-1)，整理可得：x2a2+(x-1)2=1，即(a2+1)x2=2a2x，可得xB=2a2a2+1，代入直线的方程可得yB=-b(a2-1)a2+1，所以|BF2|=(2a2a2+1-1)2+-b(a2-1)a2+12=(a2-1)2+(a2-1)3(a2+1)2，因为|A
11、F2|=2|F2B|，所以a=(a2-1)2+(a2-1)3(a2+1)2，整理可得：a2+1=2(a2-1)，解得：a2=3，可得b2=a2-c2=3-1=2，所以椭圆的方程为：x23+y22=1，故选：D.由题意可得A在短轴的顶点，可得|AF2|=a，设直线AB的方程和椭圆的方程，联立方程可得B的坐标，求出|BF2|的表达式，再由|AF2|=2|F2B|可得a的值，进而求出b的值，进而求出椭圆的方程本题考查椭圆的定义及性质，直线与椭圆综合，属于中档题11.【答案】B【解析】解：如图，由PA平面ABC，得平面PAC平面ABC，取AC中点H，连接BH，PH，则BHAC，可得BH平面PAC，则B
12、PH=30，PA=AB=2，PB=22，得BH=2，求得AH=HC=2，则H为底面三角形ABC的外心，过H作HO底面ABC，且HO=12PA(O在球内部)，则O为三棱锥P-ABC的外接球的球心，可得R2=OA2=12+(2)2=3.球O的表面积为4R2=43=12.故选：B.由题意画出图形，可得底面三角形ABC为等腰直角三角形，找出三棱锥P-ABC的外接球的球心，进一步求得半径，代入球的表面积公式得答案本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题12.【答案】B【解析】解：依题意，f(x)=e2x-mex-mx有两个变号零点，令f(x)=0，即e2x-m
13、ex-mx=0，则e2x=m(ex+x)，显然m0，则1m=ex+xe2x，设g(x)=ex+xe2x，则g(x)=(ex+1)e2x-(ex+x)2e2xe4x=1-ex-2xe2x，设h(x)=1-ex-2x，则h(x)=-ex-20，g(x)0，g(x)单调递增，当x(0,+)时，h(x)0，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)max=g(0)=1，且x-时，g(x)-，x+时，g(x)0，01m1.故选：B.依题意，f(x)=e2x-mex-mx有两个变号零点，由f(x)=0，可得1m=ex+xe2x，设g(x)=ex+xe2x，求出函数g(x)的单调性及取值情况即可得解本题考查利用
14、导数研究函数的单调性，极值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题13.【答案】5【解析】解：根据题意，向量a=(1,3)，b=(-4,1)，则a+b=(-3,4)，则|a+b|=9+16=5，故答案为：5.根据题意，求出向量a+b的坐标，进而由模的计算公式计算可得答案本题考查向量模的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题14.【答案】-32【解析】解：设等比数列an的公比为q，由a2+a3=2；得a1q+a1q2=a1q(1+q)=2，又a2-a4=6，得a1q-a1q3=a1q(1+q)(1-q)=6，联立得a1q(1+q)a1q(1+q)(1-q)=26，即11-q=13，解得q=-2，将
15、q=-2代入得a1=1，所以a6=a1q5=1(-2)5=-32.故答案为：-32.根据a2+a3=2，a2-a4=6可建立关于首项和公比的方程组，计算出首项和公比后即可计算出a6.本题主要考查等比数列的通项，考查运算求解能力，涉及逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，属于中档题15.【答案】2【解析】解：由题意可得F(c,0)，直线OA、OB都平行于渐近线，可设直线OA的方程为y=bax，直线OB的方程为y=-bax，过点F平行与OA的直线FB的方程为y=ba(x-c)，过点F平行与OB的直线FA的方程为y=-ba(x-c)，分别联立方程y=baxy=-ba(x-c)，y=-baxy=ba(
16、x-c)，解得A(c2,bc2a)，B(c2,-bc2a)，即线段AB与OF互相垂直平分，则四边形OAFB为菱形，其外接圆圆心在AB、OF的交点处，OAAF，则OAAF=c24-b2c24a2=0，即a=b，c2=a2+b2=2a2，c=2a，双曲线的离心率e=ca=2aa=2，故答案为：2.联立OA直线、与FA直线，求出A点的坐标，联立OB直线、与FB直线，求出B点的坐标，观察坐标可知，四边形OAFB为菱形，其外接圆圆心在AB、OF的交点处，再结合OAOB的数量积为0，即可求解本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，抓住四边形OAFB为菱形，其外接圆圆心在AB、OF的交点处，是解题的关
17、键，属于中档题16.【答案】【解析】解：已知函数f(x)=|ln(x-1)|，f(a)f(b)，由图像可得，f(x)在(1,2)单调递减，在(2,+)上单调递增，若a2，则ab，故正确，f(a)f(b)，ab，a2，故正确，当a2时，若b2时，则1a+1b1，若1bf(b)，即|ln(a-1)|ln(b-1)|，ln(a-1)-ln(b-1)，即ln(a-1)(b-1)0=ln1，ab-b-a+11，1a+1b2时，分别对b2和1b0，g(x)=1x-lnax=1-lnax2x，当-lna0，即00恒成立，g(x)在(0,+)上单调递增；当-lna1时，由g(x)=0，可得x=1lna，当x(
18、0,1lna)时，g(x)0，当x(1lna,+)，g(x)0，所以g(x)在(0,1lna)上单调递增，在(1lna,+)上单调递减综上可得，当01时，g(x)在(0,1lna)上单调递增，在(1lna,+)上单调递减(2)证明：f(x)=lnxa+1，由题意可得k=lnx2a-lnx1ax2-x1，要证1x2k1x1，只要证1x2lnx2a-lnx1ax2-x10，故只要证x2-x1x2lnx2x11)，则只需证1-1tlnt1)，令h(t)=lnt+1t-1(t1)，则h(t)=1t-1t2=t-1t20，所以h(t)在(1,+)上单调递增，所以h(t)h(1)=0，即lnt1-1t(t
19、1)，令m(t)=lnt-t+1(t1)，m(t)=1t-1=1-tt0，所以m(t)在(1,+)上单调递减，所以m(t)m(1)=0，即lntt-1，综上，1-1tlnt1)，即1x2k1x1.【解析】(1)求出g(x)解析式，对g(x)求导，再对a分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；(2)由条件得到不等关系，再进行整体换元转化为一元不等式的证明问题本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑思维和运算能力以及转化的思想方法，属于难题22.【答案】解：(1)将单位圆与三叶玫瑰线联立=sin3=1，解得sin3=1，所以3=2+2k(kZ)，=6+2k3(kZ).因为0,2),取k=
20、0，1，2，得=6，56，32.从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为A(1,6)，B(1,56)，C(1,32).(2)将=0，=0+2代入C：=sin3(R,0,2),点M，N所对应的极径分别为1，2，所以1=sin30，2=-cos30，即|OM|2=sin230，|ON|2=cos230.1|OM|2+1|ON|2=1sin230+1cos230=(1sin230+1cos230)(sin230+cos230)=2+sin230cos230+cos230sin2304当且仅当tan230=1时，取得最小值4.【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转
21、换；(2)利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题23.【答案】解：(1)2|x+1|-|x-27|等价于x-1-2(x+1)+x-27或-122(x+1)-(x-2)7解得x-1x-11，即-11x-1；-1x2x73，即-12x3，即2x3.综上-11x3，即不等式f(x)7的解集是-11,3.(2)已知对xR都有f(x)f(x0)，则f(x0)=f(x)min，f(x)=2|x+1|-|x-2|=-x-4,x2，则f(x)在(-
22、,-1)上是减函数，在(-1,+)上是增函数所以f(x)min=f(-1)=-3.则a+b+c+f(x0)=0等价为a+b+c=3，(a,b,c0)，则1a+4b+9c=13(a)2+(b)2+(c)2(1a)2+(2b)2+(3c)213(a1a)2+(b2b)2+(c3c)2=12，当且仅当a=b2=c3时取等号，与a+b+c=3联立解得a=12，b=1，c=32，说明不等式中的等号确实能够取到，所以1a+4b+9c的最小值为12.【解析】(1)根据绝对值不等式的意义，利用分类讨论思想进行求解即可(2)根据条件得到f(x0)=f(x)min，然后利用基本不等式的性质进行转化求解即可本题主要考查不等式的求解，利用绝对值的应用进行分类讨论，结利用基本不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题
