1、广西崇左高级中学2020-2021学年高一数学12月月考试题(含解析)考生注意:1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分,考试时间120分钟2考生作答时,请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效3.本卷命题范围:必修一(全部)+必修二(第一章)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解方
2、程组,可得答案.【详解】解方程组,可得,则故选:D2. 下列几何体中是棱锥的有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】由棱锥的定义逐个判断即可得解.【详解】由棱锥的定义可得,只有几何体、为棱锥.故选:C.3. 函数的定义域为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】被开方数必须为非负数,进而得出的取值范围【详解】由题意易得:,即,解得:函数的定义域是故选:C4. 函数且的图象所过定点的坐标为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令,求出的值,即为图象所过定点的坐标.【详解】令,得 即所以的图象所过定点 故选:B5. 在直角三角形中
3、,以边所在直线为旋转轴,将该直角三角形旋转一周,所得几何体的体积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的定义以及圆锥的体积公式即可求出【详解】根据题意以及圆锥的定义可知,将该直角三角形旋转一周,所得几何体为圆锥,底面半径为,高为,所以其体积为.故选:C【点睛】本题主要考查圆锥的定义以及圆锥的体积公式的应用,属于容易题6. 如图,为水平放置的斜二测画法的直观图,且,则的周长为( )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】【分析】由斜二测画法的直观图与原图的关系,运算即可得解.【详解】由直观图可得,在中,且,所以,所以的周长为.故选:D.7. 一个正三棱
4、柱三视图如图所示,则这个三棱柱的表面积为( )A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知,该正三棱柱的底面是边长为2cm的正三角形,高为2cm,根据面积公式计算可得结果.【详解】正三棱柱如图,有,三棱柱的表面积为.故选:D【点睛】本题考查了根据三视图求表面积,考查了正三棱柱的结构特征,属于基础题.8. 函数的一个零点所在区间为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由零点存在性定理结合即可得解.【详解】,且为连续函数,的一个零点所在区间为故选:A.9. 已知,则,的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指对数函数性质,借助中间值
5、比较即可得答案.【详解】解:因为函数是单调递减函数,所以;因为函数在定义域内是增函数,所以,所以.故选:C.【点睛】关键点点睛:本题考查指对数幂比较大小,此类问题的解决常借助指对数函数的单调性比较大小,解题时一般利用中间值等实现大小比较,考查运算能力,是基础题.10. 已知函数是R上的增函数,则a的取值范围为A. B. C. (0,1)D. 【答案】D【解析】【分析】因为为R上单调递增函数,所以也为增函数,所以有,同时,为保证为R上单调递增函数,则要有,综上,可得,求解即可.【详解】由题意得,解得.答案选D.【点睛】本题考查分段函数的单调性问题,难点在于分段点处的值的处理,使用数形结合法会比较
6、容易处理该类题目,属于中等题11. 已知函数且在区间上的最大值与最小值的差为1,则实数的值为( )A. 2B. 4C. 或4D. 或2【答案】C【解析】【分析】令,函数可化为,进而分和两种情况,分别讨论的单调性,由最大值与最小值的差为1,可求出实数的值.【详解】令,由,得,函数可化为,.当时,函数在上单调递增,其最大值与最小值的差为,解得;当时,函数在上单调递减,其最大值与最小值的差为,解得.所以实数的值为4或.故选:C.12. 已知函数,若对任意的,都有恒成立,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析出函数为上的奇函数,且该函数在上为增函数,进而可得出函
7、数为上的增函数,由化简可得出对任意的恒成立,由此可得出关于实数的不等式组,进而可求得实数的取值范围.【详解】对任意的,所以,函数的定义域为,由,可得,可知函数为奇函数,又由,当时,函数和单调递增,任取,则,可得,即,所以,函数在上单调递增,则函数在上单调递增,由于函数在上连续,则函数在上的增函数,由,有,有,可得,由题意可知,不等式对任意的恒成立,有,解得故选:C.【点睛】方法点睛:利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式,要设法将隐性划归为显性的不等式来求解,方法是:(1)把不等式转化为;(2)判断函数的单调性,再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉,得到具体的不等式(组),但要注意
8、函数奇偶性的区别.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知,则_.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式,由内而外,逐步计算,即可得出结果.【详解】因为,所以,因此故答案为:.14. 若圆柱的高h和底面半径r之比,且圆柱的体积,则_【答案】【解析】【分析】根据与列方程求解即可.【详解】因为圆柱的高h和底面半径r之比,所以,得故答案为:.15. 已知集合,若,则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用元素与集合的关系知满足不等式,代入计算即得结果.【详解】若,则不满足不等式,即满足不等式,故代入,有,得故答案为:16. 某公司在甲、乙两地销售同一种农产品,利润(单位:
9、万元)分别为,其中为销售量(单位:吨)若该公司在这两地共销售10吨农产品,则能获得的最大利润为_万元.【答案】34【解析】【分析】设公司在甲地销售品牌车辆,则在乙地销售品牌车辆,根据利润函数表示出利润之和,利用配方法求出函数的最值即可【详解】设在甲地销售t吨,则在乙地销售吨,利润为,又 且 故当时,能获得的最大利润为34万元三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说眀、证明过程及演算步骤17. 已知圆台的上下底面半径分别为,母线长为求:(1)圆台的高;(2)圆台的体积注:圆台的体积公式:,其中,S分别为上下底面面积,h为圆台的高【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)作出
10、圆台的直观图,过点A作,垂足为H,由勾股定理可求圆台的高;(2)结合(1),利用圆台的体积公式可求圆台的体积【详解】(1)作出圆台的直观图,如图,设圆台上下底面圆心分别为,为圆台的一条母线,连接,过点A作,垂足为H,则的长等于圆台的高,因为圆台的上下底面半径分别为,母线长为所以,则,可得,故圆台的高为;(2)圆的面积圆的面积为故圆台的体积为18. 已知集合,.(1)若,求实数的取值范围;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)解不等式,可求出集合,根据二次函数的性质,可求出集合,由,可建立不等关系,进而可求出实数的取值范围;(2)先求出及集合,由,可建立不等关系
11、,进而可求出实数的取值范围.【详解】(1)由题意,因为,所以,解得(2)由(1)可知,因为,有,得19. 已知函数.(1)请在平面直角坐标系中,画出函数的草图;(2)写出函数的单调区间;(3)若,请根据函数的草图,写出实数的值.【答案】(1)见解析;(2)函数的增区间为,减区间为;(3)1或3或【解析】【分析】(1)去绝对值,得,进而画出函数的图象即可;(2)根据图象,可得到函数的单调区间;(3)根据图象可知,满足有3个,进而分和两种情况,分别解方程,可求出答案.【详解】(1)由题意,可得函数的草图为:(2)由图可知,函数的增区间为,减区间为.(3)根据图象可知,满足的有3个,若,则,解得或;
12、若,则,解得或(舍去).综上,实数t的值为1或3或.20. 已知幂函数,且在上单调递增.(1)求实数的值;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义求出m的值,结合函数的单调性确定m的值即可;(2)根据幂函数的单调性和奇偶性得到关于t的不等式,解出即可【详解】(1)根据幂函数的定义有,解得或,当时,此时函数在区间上单调递减,不合题意,舍去;当时,此时函数在区间上单调递增,符合题意.由上知;(2)由(1)知,此时函数的增区间为,减区间为,且函数为偶函数,图象关于y轴对称,又由,若,得,解得或,故实数t的取值范围为.【点睛】关键点点睛:在(2)中,函
13、数为偶函数,增区间为,得.21. 已知函数.(1)求函数的定义域;(2)讨论函数的奇偶性;(3)证明:函数在定义域上单调递减.【答案】(1) (2) 函数为奇函数 (3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由的定义域满足可得答案.(2)直接判断与的关系可得答案.(3) 设,先作差判断出,再由对数函数在上单调递增有,即可得出结论.【详解】解:(1)令,可得,即,解得函数的定义域为(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称由,可得函数为奇函数(3)设设利用对数函数在上单调递增有,即故函数在上单调递减【点睛】关键点睛:本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性,解答本题的关键是先得出与的大小
14、关系,再由函数在上单调递增得到,即,属于中档题.22. 已知函数,.(1)若函数有两个零点,求实数的取值范围;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)当时,求函数在区间上的最值.【答案】(1);(2);(3)最大值,最小值为0【解析】【分析】(1)由,易知是函数的一个零点,可知有解,进而可求出的范围;(2)原不等式可化为,分,和两种情况,分别讨论,可求出实数a的取值范围;(3),当时,令,可将转化为二次函数,可求出最大值与最小值;当时,令,可将转化为二次函数,进而可求的取值范围,综合两种情况,可求得的最大值与最小值.【详解】(1)由,由,可知是函数的一个零点,若函数有两个零点,只需要
15、()有解,因为,所以,可得且.故若函数有两个零点,则实数a的取值范围为.(2)若不等式恒成立,有,可化为.当时,显然原不等式恒成立;当时,原不等式可化为,因为,所以;当时,原不等式可化为,因为,所以.由上知,当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为.(3),当时,令,则可化为,令,二次函数的对称轴为,故在区间上单调递增,可得的最小值为,的最大值为;当时,令,则可化为,令,二次函数的对称轴为,故函数在区间单调递减,由,得.因为,所以函数在上的最大值为,最小值为0【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.