1、【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点23等比数列（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标等比数列的定义、通项公式、前n项和及等比数列的基本性质；等比数列的应用.二.知识梳理1.等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）2.等比中项：如果在与之间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项，也就是，如果是的等比中项，那么，即3.等比数列的判定方法：定义法：对于数列，若，则数列是等比数列等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列4等比
2、数列的通项公式：如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为或着5等比数列的前n项和： 当时，当时，前n项和必须具备形式6等比数列的性质：等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有 对于等比数列，若，则也就是：如图所示：若数列是等比数列，是其前n项的和，那么只有当公比且k为偶数时,，不成等比数列如下图所示：三、考点逐个突破1.等比数列的概念与通项公式例1.(1) 已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B（2）已知等比数列满足，且，则当时
3、， A. B. C. D. 【解析】由得，则， ，选C. （3）设等比数列的前n项和为.若，则= 答案：3解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3.（4）等比数列中，已知 （I）求数列的通项公式； （）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.解：（I）设的公比为 由已知得，解得（）由（I）得，则，设的公差为，则有解得从而所以数列的前项和2.等比数列的前n项和公式例2.(1) 等比数列的公比, 已知=1，则的前4项和= 【答案】【解析】由得：，即，解得：q2，又=1，所以，.(2) 等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列 （1）求的公比q；
4、 （2）求3，求 解：（）依题意有 ， 由于，故又，从而 （）由已知可得故从而 3.等比数列的性质例3.（1）等比数列中，各项均为正数，且，求解：设等比数列首项为，公比为q，则另法：， 将两式相加得又因为数列中，各项均为正数，所以7.（2）在和之间插入n个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积；解法1：设插入的n个数为，且公比为q则解法2：设插入的n个数为，说明：第一种解法利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到；4.等比数列的判断与证明例4.等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； （11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立. 由、可得不等式恒成立.
