1、63.5平面向量数量积的坐标表示新课程标准解读核心素养1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角数学运算2.能用坐标表示平面向量垂直的条件逻辑推理通过前面的学习，我们知道，已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，我们可以求出ab，ab以及a(0)的坐标问题那么如何用a与b的坐标来表示ab呢？知识点平面向量数量积的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.则(1)abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；(2)|a|2xy，或|a|；(3)abx1x2y1y20；(4)若a，b为非零向量，则cos .1向量垂直与向量平行的坐标表示有什
2、么区别？提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：坐标表示记忆口诀垂直abx1x2y1y20对应相乘和为0平行abx1y2x2y10交叉相乘差为02.已知向量a(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0a，其中正号、负号分别表示与a同向和反向易知b(y，x)和a(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为，其中正、负号表示不同的方向1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和()(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y20.(
3、)(3)两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a，b的夹角为180.()答案：(1)(2)(3)2已知向量a(x5，3)，b(2，x)，且ab，则由x的值构成的集合是()A2，3B1，6C2 D6解析：选Cab，2(x5)3x0，x2.故选C.3设a(1，2)，b(3，1)，c(1，1)，则(ab)(ac)等于()A11 B5C14 D10解析：选Aab(4，1)，ac(2，3). 所以(ab)(ac)42(1)(3)11.故选A.平面向量数量积的坐标运算角度一数量积的坐标运算例1已知向量a(1，2)，b(3，2)(1)求a(ab)；(2)求(ab)(2
4、ab)；(3)若c(2，1)，求(ab)c，a(bc)解(1)法一：a(1，2)，b(3，2)，ab(4，0)a(ab)(1，2)(4，0)(1)(4)204.法二：a(ab)a2ab(1)222(1)3224.(2)ab(1，2)(3，2)(2，4)，2ab2(1，2)(3，2)(2，4)(3，2)(5，2)，(ab)(2ab)(2，4)(5，2)2(5)422.(3)(ab)c(1，2)(3，2)(2，1)(1322)(2，1)(2，1)a(bc)(1，2)(3，2)(2，1)(1，2)(3221)8(1，2)(8，16)角度二数量积的坐标运算在几何图形中的应用例2在矩形ABCD中，AB3
5、，BC2，点M，N分别在DC，BC上，且DMMC，BNBC，则_解析法一：0223205.法二：以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，于是(1，2)，(3，1)，故5.答案5数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先将向量用基底表示，再利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算；(2)对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解 跟踪训练1已知点A(
6、1，2)，B(2，3)，C(2，5)，则 等于()A1B0C1 D2解析：选B因为(2，3)(1，2)(1，1)，(2，5)(1，2)(3，3)，所以1(3)130.2在ABC中，B90，AB2，D是边BC上一动点，则()A2 B2C4 D无法确定解析：选C法一：()，B90，0，4.法二：以B为原点，以，的方向为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)(2，0)，(2，y)，得(2，0)(2，y)4.与平面向量的模有关的问题例3(1)设x，yR，向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B.C2 D10(2)
7、已知点A(1，2)，若向量与a(2，3)同向，|2，则点B的坐标是_解析(1)ac，bc，解得a(2，1)，b(1，2)，ab(3，1)，|ab|.(2)由题意可设a(0)，(2，3)，又|2，(2)2(3)2(2)2，解得2或2(舍去)(4，6)，又A(1，2)，B(5，4)答案(1)B(2)(5，4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a| . 跟踪训练在平面直角坐标系中，O为原点，已知A(16，12)，B(5，15)，则|_，|_解析：由
8、题意可得|20，|15.答案：2015向量夹角和垂直问题例4(链接教科书第34页例10)(1)已知向量a(2，1)，b(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是_；(2)已知在ABC中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，则点D的坐标为_，|_解析(1)当a与b共线时，2k10，k，此时a，b方向相同，夹角为0，要使a与b的夹角为锐角，则有ab0且a，b不同向由ab2k0得k2，且k，即实数k的取值范围是.(2)设点D的坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)点D在直线BC上，即BD与BC共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)
9、，x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30.由可得即D点坐标为(1，1)，(1，2)，|.综上，D(1，1)，|.答案(1)(2)(1，1)母题探究1(变条件)将本例(1)中的条件“a(2，1)”改为“a(2，1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围解：当a与b共线时，2k10，k，此时a与b方向相反，夹角为180，所以要使a与b的夹角为钝角，则有ab0，且a与b不反向由ab2k0得k2，由a与b不反向得k，所以k的取值范围是.2(变条件)将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值解：cos ，即，整理得3k2
10、8k30，解得k或3.利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；(2)利用|a| 计算出这两个向量的模；(3)由公式cos 直接求出cos 的值；(4)在0，内，由cos 的值求角. 跟踪训练1已知a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为_解析：因为ab，所以x4，所以b(4，2)，所以ab(6，3)，bc(1，2y)因为(ab)(bc)，所以(ab)(bc)0，即63(2y)0，所以y4，则M(4，4)，N(4，4)所以向量(8，8)，|8.答案：82已知平面向量a(3
11、，4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小解：(1)因为ab，所以3x49，即x12.因为ac，所以344y0，所以y3.故b(9，12)，c(4，3)(2)m2ab(6，8)(9，12)(3，4)，nac(3，4)(4，3)(7，1)设m，n的夹角为，则cos .因为0，所以，即m，n的夹角为.1已知a(2，1)，b(1，1)，则(a2b)(a3b)()A10 B10C3 D3解析：选Ba2b(4，3)，a3b(1，2)，所以(a2b)(a3b)4(1)(3)210.2已知a(1，2)，b(2，4)，|c|，(ab)c，则向量a与c的夹角为_解析：b(2，4)2(1，2)2a，aba，(ab)cac.设a与c的夹角为，则cos .0，即a与c的夹角为.答案：3已知平面向量a(2，4)，b(1，2)，若ca(ab)b，则|c|_解析：由题意可得ab214(2)6，ca(ab)ba6b(2，4)6(1，2)(8，8)，|c|8.答案：84已知向量a(3，2)，b(1，2)(1)求|a2b|的值；(2)若(amb)b，求实数m的值解：(1)由已知得a2b(1，6)，|a2b|.(2)依题意得amb(3m，22m)，(amb)b，(amb)b0，即1(3m)2(22m)0，解得m.8
