1、小专题研究(二)简谐运动的多解问题简谐运动的最大特点就是具有周期性，其位移、速度、加速度、回复力、动能、势能等物理量都具有周期性；若物体运动时间与简谐运动的周期之间存在整数倍的关系，则点的位移、速度、回复力、加速度、动能等物理量均相同；所以简谐运动在很多情况具有多解性，这是由运动时间与周期关系不确定造成的。简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性。例证如图1所示，小球m自A点以AD方向的初速度逐渐接近固定在D点的小球n。已知0.8 m，A圆弧半径R10 m，AD10 m，A、B、C、D在同一水平面上，则v为多大时，才能使m恰好碰到小球n？(设g10 m/s2，不计一切摩擦)图1解析小球m
2、的运动由两个分运动合成，这两个分运动分别是：以速度v沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面AB方向上的往复运动。因为R，所以小球在圆弧面上的往复运动可看做简谐运动，具有等时性，其圆弧半径R即为单摆的摆长，周期T2。设小球m恰好能碰到小球n，则有：ADvt，且满足tkT(k1,2,3)，又T2，解以上方程得v m/s(k1,2,3)，答案 m/s(k1,2,3)1如图2所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球在距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，求小球应从多高处自由落下(R)。图2解析：小球由A点开始沿球内表面运动时，只受
3、重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为R，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等。小球由A点由静止释放运动到O点的时间为(2n1)(n1,2,3)，由于从O点正上方自由落下的小球到O的时间也为(2n1)时两球才能在O点相碰，所以hgt2g(2n1)2(n1,2,3)。答案：(n1,2,3)2A、B两个单摆，第一次同时从平衡位置以相同速度开始运动，经过时间t0，它们第二次以相同速度同时通过平衡位置，已知A摆的周期为TA，求B摆的周期TB。解析：由题知在t0时间内，A摆完成的全振动的次数为nA；B摆完成全振动的次数nB，又因A、B摆是以相同的速度第二次同时通过平衡位置，所以有nAnBn，式中n0，1、2，得：n(n0、1、2)，解得：TB(n0、1、2)。答案：TB(n0、1、2)
