1、热点题型探究专题限时集训专题六 高考中导数的综合运用 第 1 课时 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 高考命题视角题型一|利用导数研究函数的单调性 已知函数 f(x)xaxln x(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在(1，)上单调递增，求 a 的取值范围解题指导(1)求fx就a的取值讨论fx的符号 求fx的单调区间(2)fx在1，上单调递增 等价转化 fx0在1，上恒成立 求a的范围 解(1)函数 f(x)xaxln x 的定义域为(0，)，1 分 f(x)1ax21xx2xax2.2 分 当 14a0，即 a14时，得 x2xa0，则 f(x)0.函数 f(
2、x)在(0，)上单调递增.3 分 当 14a0，即 a14时，令 f(x)0，得 x2xa0，解得 x11 14a20，x21 14a2.4 分()若14a0，则 x21 14a20.x(0，)，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增.6 分()若 a0，则 x0，1 14a2时，f(x)0；x1 14a2，时，f(x)0.函 数f(x)在 区 间0，1 14a2上 单 调 递 减，在 区 间1 14a2，上单调递增.8 分 综上所述，当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0，)；当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间为0，1 14a2，单调递增区间为1 14a2，.10
3、分(2)由题意知，f(x)0 在(1，)上恒成立，即 x2xa0 在(1，)上恒成立，11 分 令 g(x)x2xax12214a，则 g(x)2a，从而 2a0，a2.12 分 当 a2 时，f(x)0 在(1，)上恒成立，13 分 因此实数 a 的取值范围是(，2.14 分【名师点评】1.研究函数的单调性，必须优先考虑函数的定义域.2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路：1求 fx；2将单调性转化为 fx0 或 fx0 恒成立问题求解，要注意“”是否可以取到，应加以检验.已知函数 f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中 g(x)的函数图象在点(1，g(1)处的切线平行于 x
4、轴(1)确定 a 与 b 的关系；(2)若 a0，试讨论函数 g(x)的单调性解(1)依题意得 g(x)ln xax2bx，则 g(x)1x2axb.4 分 由函数 g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于 x 轴得 g(1)12ab0，b2a1.6 分(2)由(1)得 g(x)2ax22a1x1x2ax1x1x.7 分 函数 g(x)的定义域为(0，)，当 a0 时，g(x)x1x.8 分 由 g(x)0 得 0 x1，由 g(x)0 得 x1，即函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当 a0 时，令 g(x)0 得 x1 或 x 12a，10 分 若 12a1，
5、即 a12，由 g(x)0 得 x1 或 0 x 12a，由 g(x)0 得 12ax1，即函数 g(x)在0，12a，(1，)上单调递增，在12a，1 上单调递减；12分 若 12a1，即 0a12，由 g(x)0 得 x 12a或 0 x1，由 g(x)0 得 1x 12a，即函数 g(x)在(0,1)，12a，上单调递增，在1，12a 上单调递减；若 12a1，即 a12，在(0，)上恒有 g(x)0，即函数 g(x)在(0，)上单调递增.13 分 综上可得：当 a0 时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当 0a12时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在
6、1，12a 上单调递减，在12a，上单调递增；当 a12时，函数 g(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 g(x)在0，12a 上单调递增，在12a，1 上单调递减，在(1，)上单调递增.14 分题型二|利用导数研究函数的极值、最值 已知函数 f(x)axbxex，a，bR，且 a0.(1)若 a2，b1，求函数 f(x)的极值；(2)设 g(x)a(x1)exf(x)，当 a1 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)1 成立，求 b 的最大值；设 g(x)为 g(x)的导函数若存在 x1，使 g(x)g(x)0 成立，求ba的取值范围解(1)当 a2，b1 时，f(x)21x ex
7、，定义域为(，0)(0，).1 分 所以 f(x)x12x1x2ex.2 分 令 f(x)0，得 x11，x212.3 分 列表：x(，1)1(1,0)0，121212，f(x)00 f(x)极大值 极小值 5 分 由表知 f(x)的极大值是 f(1)e1，f(x)的极小值是 f12 4 e.6 分(2)因为 g(x)(axa)exf(x)axbx2a ex，当 a1 时，g(x)xbx2 ex.7 分 因为 g(x)1 在 x(0，)上恒成立，所以 bx22xxex在 x(0，)上恒成立.8 分 记 h(x)x22xxex(x0)，则 h(x)x12ex1ex.9 分 当 0 x1 时，h(
8、x)1 时，h(x)0，h(x)在(1，)上是增函数.10 分 所以 h(x)minh(1)1e1.所以 b 的最大值为1e1.11 分 因为 g(x)axbx2a ex，所以 g(x)bx2axbxa ex.12 分 由 g(x)g(x)0，得axbx2a exbx2axbxa ex0，整理得 2ax33ax22bxb0.13 分 若存在 x1，使 g(x)g(x)0 成立，等价于存在 x1,2ax33ax22bxb0 成立.14 分 因为 a0，所以ba2x33x22x1.设 u(x)2x33x22x1(x1)，则 u(x)8xx342 3162x12.15 分 因为 x1，u(x)0 恒
9、成立，所以 u(x)在(1，)上是增函数，所以 u(x)u(1)1，所以ba1，即ba的取值范围为(1，).16 分【名师点评】1.函数 fx在 xx0 处取得极值的判断方法：求得导数 fx后，检验 fx在 xx0 左右的符号1左正右负fx在 xx0 处取极大值；2左负右正fx在 xx0 处取极小值.2.由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：1分离参数；2不分离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：afxafxmax，afxafxmin.已知函数 f(x)x12ax2ln(1x)，其中 aR.(1)若 x2 是 f(x)的
10、极值点，求 a 的值；(2)求 f(x)的单调区间；(3)若 f(x)在0，)上的最大值是 0，求 a 的取值范围【导学号：91632018】解(1)f(x)x1aaxx1，x(1，).2 分 依题意，得 f(2)0，解得 a13.4 分 经检验，a13时，符合题意.6 分(2)当 a0 时，f(x)xx1，x(1，)故 f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0).7 分 当 a0 时，令 f(x)0，得 x10，x21a1.当 0a1 时，1x20，f(x)与 f(x)的变化情况如下：x(1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00 f(x)f(x2)f(x1)f(x)
11、的单调增区间是1a1，0，单调减区间是1，1a1 和(0，).9 分 当 a0 时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)综上，当 a0 时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)；当 0a1 时，f(x)的单调增区间是1a1，0，单调减区间是1，1a1 和(0，).10 分(3)由(2)知 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增，由 f(0)0 知不合题意.12 分 当 0a0，f(x)在区间0，1a1 上递增可知，f1a1 f(0)0，不合题意.14 分 当 a1 时，f(x)在(0，)上单调递减，可得 f(x)在0，)上的最大值是f(0)0 符合题意 即
12、f(x)在0，)上的最大值是 0 时，a 的取值范围是1，).16 分题型三|利用导数解决生活中的实际问题(2016苏北四市期末)如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东 45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线 C.为方便游客观光，拟过曲线 C 上某点 P 分别修建与公路 OA，OB 垂直的两条道路 PM，PN，且 PM，PN的造价分别为 5 万元/百米，40 万元/百米建立如图 6-1 所示的平面直角坐标系xOy，则曲线 C 符合函数 yx4 2x2(1x9)模型，设 PMx，修建两条道路PM，PN 的总造价为 f(x)万元(题中所涉及长度单位均为百米)图 6-1(1)求 f(
13、x)的解析式；(2)当 x 为多少时，总造价 f(x)最低？并求出最低造价解(1)在题图直角坐标系中，因为曲线 C 的方程为 yx4 2x2(1x9)，且 PMx，所以点 P 坐标为x，x4 2x2，1 分 直线 OB 的方程为 xy0，2 分 则点 P 到直线 xy0 的距离为xx4 2x224 2x22 4x2，4 分 又 PM 的造价为 5 万元/百米，PN 的造价为 40 万元/百米，则两条道路总造价为 f(x)5x404x25x32x2(1x9).8 分(2)因为 f(x)5x404x25x32x2(1x9)，所以 f(x)5x364x3，10 分 令 f(x)0，得 x4，列表如下
14、：x(1,4)4(4,9)f(x)0 f(x)单调递减 极小值单调递增 所以当 x4 时，函数 f(x)有最小值，最小值为 f(4)543242 30.12 分 即当 x4 时，总造价最低，为 30 万元.14 分 注：利用三次均值不等式 f(x)5x32x2 5x2x232x2 533 830，当且仅当x2x232x2，即 x4 时等号成立，照样给分【名师点评】利用导数解决优化问题的五个步骤：1审题设未知数；2结合题意列出函数关系式；3确定函数的定义域；4在定义域内求极值；5下结论.(2016苏州模拟)如图 6-2(1)是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图6-2(2)所示，其中 C 为半
15、圆弧 ACB的中点，渠宽 AB 为 2 米(1)当渠中水深 CD 为 0.4 米时，求水面的宽度；(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？(1)(2)图 6-2解(1)以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系 xOy，1 分 因为 AB2 米，所以半圆的半径为 1 米，则半圆的方程为 x2y21(1x1，y0).3 分 因为水深 CD0.4 米，所以 OD0.6 米，4 分 在 RtODM 中，DM OM2OD2 10.620.8(米).所以 MN2DM1.6
16、米，故沟中水面宽为 1.6 米.6 分 (2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为 P(cos，sin)20 是圆弧 BC 上的一点，过 P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形 OCFE，得切线 EF 的方程为 xcos ysin 1.令 y0，得 E1cos，0，令 y1，得 F1sin cos ，1.8 分 设直角梯形 OCFE 的面积为 S1，则横断面的面积为 S2S1，则 S(CFOE)OC1cos 1sin cos 12sin cos 20.10 分 Scos cos 2sin sin cos212sin cos2，令 S0，解得 6，当26时，S0，函数单调递减；
17、当60 时，S0，函数单调递增 所以 6时，面积 S 取得最小值，最小值为 3.12 分 此时 CF1sin6cos6 33，即当渠底宽为2 33 米时，所挖的土最少.14 分命题展望从近几年的高考试题来看，以实际问题为背景，考查学生的建模能力以及应用导数解决最优化问题的能力成为江苏高考的一个热点，2017 年仍是命题方向，应引起足够的重视.)(2015江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连结两条公路的山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l.如图 6-3 所示，M，N 为 C 的两个端
18、点，测得点 M 到 l1，l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米以 l2，l1所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy.假设曲线 C 符合函数 yax2b(其中a，b 为常数)模型 图 6-3(1)求 a，b 的值；(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t)，并写出其定义域；当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入 yax2b，得a25b40，a40
19、0b2.5，解得a1 000，b0.4 分(2)由(1)知，y1 000 x2(5x20)，则点 P 的坐标为t，1 000t2.设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 两点，y2 000 x3，则 l 的方程为 y1 000t22 000t3(xt)，6 分 由此得 A3t2，0，B0，3 000t2.故 f(t)3t223 000t22 32t24106t4，t5,20.8 分 设 g(t)t24106t4，则 g(t)2t16106t5.令 g(t)0，解得 t10 2.10 分 当 t(5,10 2)时，g(t)0，g(t)是减函数；当 t(10 2，20)时，g(t)
20、0，g(t)是增函数.12 分 从而，当 t10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以 g(t)min300，此时 f(t)min15 3.13 分 故当 t10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米.14 分阅卷心语易错提示 1导数的几何意义不明，导致 l 的方程求解错误；2运算能力弱，对 gt求导失分严重.防范措施 1函数 yfx在 xx0 处的导数即为过该点曲线切线的斜率.2熟记导数的基本运算法则及常用的 x，ax，ln x 的导数.1设函数 f(x)x2exk(x2ln x)(k 为实常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当 k1 时，求函数 f(x
21、)的最小值；(2)若函数 f(x)在区间(0,4)内存在三个极值点，求 k 的取值范围解(1)由函数 f(x)exx2(x2ln x)(x0)，可得 f(x)x2exx2x3.1 分 因为当 x0 时，exx2.理由如下：要使 x0 时，exx2，只要 x2ln x，设(x)x2ln x，(x)12xx2x，2 分 于是当 0 x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0.即(x)x2ln x 在 x2 处取得最小值(2)22ln 20，即 x0 时，x2ln x，所以 exx20，4 分 于是当 0 x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0.所以函数 f(x)在(0,2)上为减函数，(2
22、，)上为增函数 所以 f(x)在 x2 处取得最小值 f(2)e2422ln 2.6 分(2)因为 f(x)x2exkx2x3x2exx2kx，当 k0 时，exx2k0，所以 f(x)在(0,2)上单调递减，(2,4)上单调递增，不存在三个极值点，所以 k0.7 分 又 f(x)x2exkx2x3x2exx2kx，令 g(x)exx2，得 g(x)e2x2x3，8 分 易知 g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，在 x2 处取得极小值，得 g(2)e24，且 g(4)e416，10 分 于是可得 yk 与 g(x)exx2在(0,4)内有两个不同的交点的条件是 ke24，e4
23、16.11 分 设 yk 与 g(x)exx2在(0,4)内有两个不同交点的横坐标分别为 x1，x2，则有 0 x12x24，下面列表分析导函数 f(x)及原函数 f(x)：x(0，x1)x1(x1,2)2(2，x2)x2(x2,4)4 x202 exx2k0e24k0e416k f(x)000f(x)递减极小值递增极大值递减极小值递增 可知 f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1,2)上单调递增，在(2，x2)上单调递减，在(x2,4)上单调递增，13 分 所以 f(x)在区间(0,4)上存在三个极值点 即函数 f(x)在(0,4)内存在三个极值点的 k 的取值范围是e24，e416.1
24、4 分2某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh(元)，1 分 底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元.2 分 根据题意得 200rh160r212 000，所以 h 15r(3004r2)，3 分 从而 V(r)r2h5(300r4r3).4 分 由 h0，且 r0 可得 0r0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数.12 分 由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大.14 分专题限时集训（六）点击图标进入
