1、一轮大题专练16导数(讨论函数单调性)1已知,其中为实数(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)讨论的单调性解:(1)若,则,设曲线在处的切线方程的斜率为,则,又(1),所以,在处的切线方程为:,即;(2),当时,故在上单调递减,在上单调递增;同理可得,当时,在,上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在,上单调递增,在上单调递减;综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在,上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在,上单调递增,在上单调递减2已知函数,讨论的单调性;解:,设,则当时,当时,所以在单调递减,在上单调递增;设,由得或若,则,所以在单调递增,若,则,
2、当,时,当时,所以在,单调递增,在单调递减;若,则,当,时,当时,所以在,单调递增,在单调递减;综上:当,在单调递减,在上单调递增,当,在,单调递增,在单调递减,当,在单调递增,当,在,单调递增,在单调递减3已知函数,(1)若函数在时取得极值,求的值;(2)讨论函数的单调性解:(1),在处取得极值,故(1),解得:,时,令,解得:或,令,解得:,故在递增,在递减,在递增,故是函数的极大值点,符合题意;(2)由(1)得,令,则或,时,此时在上单调递增,时,当时,当,时,故在递减,在,递增,时,此时当时,当,时,在递减,在,递增,综上:时,在递增,在递减,在递增,时,在上单调递增,时,在递增,在递
3、减,在递增4已知函数(1)当时,求在,的最大值为自然对数的底数,;(2)讨论函数的单调性;(3)若且,求实数的取值范围解:(1)当时,则,当时,则单调递增,当时,则单调递减,故当时,函数取得唯一的极大值,即最大值,所以在,的最大值为;(2)函数的定义域为,则,当,即时,此时函数在上单调递增;当,即时,若,则,令,可得,令,可得,此时函数在上单调递增,在,上单调递减;若,则,则,故,则对恒成立,此时函数在上单调递减综上所述,当若时,函数在上单调递减;当时,函数在上单调递增,在,上单调递减;当时,函数在上单调递增;(3)等价于,即,令,则,又,当时,对任意的恒成立,符合题意;当时,令,可得或(舍,
4、当,则单调递增,当时,则单调递减,所以当时,取得最大值(a),因为,所以,令(a),则函数(a)在上单调递增,又(1),故由,可得(a)(1),解得综上所述,实数的取值范围为,5已知函数,(1)讨论函数的单调性;(2)若恒成立,求实数的取值范围解:(1),定义域是,当时,时,递增,时,递减,当时,函数时,对称轴为,时,当即时,函数即,单调递增,当,即时,令,时,单调递增,时,单调递减,时,单调递增,当时,函数,对称轴,令,解得:,(舍,时,递增,时,递减,综上,时,在递增,时,的单调递增区间是,递减区间是,时,的递增区间是,递减区间是,时,的递增区间是,递减区间是,;(2)即,故,而,则恒成立
5、,令,故,令,则,单调递增,故,递增,故,即,则,故时,递增,时,递减,故的最大值是(2),故的取值范围是,6已知函数()若,求的最小值;()求函数的单调区间解:()函数的定义域为若,则,令,得,随的变化,的变化情况如下表所示10单调递减极小值(1)单调递增所以时,的最小值为(6分)()因为,当时,令,得,所以,在区间上单调递增,令,得,所以,在区间上单调递减当时,令,得或,随的变化,的变化情况如下表所示100单调递增(a)单调递减(1)单调递增所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增当时,因为,当且仅当时,所以在区间上单调递增当时,令,得或,随的变化,的变化情况如下表所示10
6、0单调递增(1)单调递减(a)单调递增所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为,无单调递减区间;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为(15分)7已知函数,(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)证明:函数为单调递增函数解:(1)函数的定义域为,对函数求导可得,时,则,故,故切线方程是:,即;(2)证明:由第(1)问可得,令,则,可知在上,在上,即在上单调递减,在上单调递增,于是有,即恒成立,构造函数,则,可知在上,在上,即在上单调递减,在上单调递增,于是有,即恒成立
7、,当时,成立,综上可得,即有,函数为单调递增函数88已知函数,(1)当时,求证:;(2)当时,讨论函数的单调性解:(1)证明:当时,该函数的定义域为,当时,此时函数单调递减;当时,此时函数单调递增所以,(2),因此,当时,;(2)当时,函数的定义域为,当时,即当时,则由可得,由可得此时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;当时,即当时,由可得,由可得或此时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为、;当时,即当时,则对任意的恒成立,此时,函数的单调递增区间为;当时,即当时,由可得,由可得或此时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为、综上所述,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为、;当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为、