1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第二节 平面向量的坐标运算Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算3理解用坐标表示的平面向量共线的条件考试热点从近几年高考来看,向量的坐标运算有单独考查,更多的是与其他知识综合考查预计2011年对本部分的考查以选择题或填空题的形式出现,考查利用平面向量基本定理进行向量坐标运算的能力.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 200
2、4-2009 版权所有 盗版必究 1平面向量基本定理 如果e1、e2是的两个非零向量,对于平面内的任一向量a,存在的一对实数1,2使a1e12e2.e1,e2称为表示平面内所有向量的一组,e1,e2都是这组基底下的一个不共线唯一基底基底向量Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个i、j作为基底,对任一向量a,有且只有一对实数x、y,使得axiyj,则实数对叫做向量a的直角坐标,记作,其中x,y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标,叫做向量a的坐标表示,相等的向量其坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量.单位
3、向量(x,y)a(x,y)a(x,y)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3平面向量的坐标运算(1)若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab,ab(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2),则,这就是平面内两点间的距离公式(3)若a(x,y),则a;当时,表示a方向的(4)如果a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件是.,y1y2)(x1x2(x1x2,y1y2)(x2x1,y2y1)(x,y)单位向量x1y2x2y10Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 归纳拓展:向量共线有多种表现形式:设a(x1,y1),b(x2,y2)(b
4、0)(1)abab(R)即ab(x1,y1)(x2,y2)(2)若x20,y20,(3)abx1y2x2y1x1y2x2y10.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1若向量a(1,1),b(1,1),c(1,2),则c等于()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案:BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2已知ABa 且 A(12,4),B(14,2),又 12,则 a等于()A(18,1)B(14,3)C(18,1)D(14,3)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案:ACopyright 20
5、04-2009 版权所有 盗版必究 3已知a(1,2),b(x,1),且a2b与2ab平行,则x等于()解析:a(1,2),b(x,1),a2b(1,2)2(x,1)(2x1,4),2ab2(1,2)(x,1)(2x,3)a2b与2ab平行(2x1)34(2x)0.解之,得x.选D.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案:DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4如果向量i2j,imj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,且A、B、C三点共线,则m_.解析:由题设,又A、B、C三点共线,211m,m2.答案:2Copyright 200
6、4-2009 版权所有 盗版必究 5已知平面内三点 A、B、C 在同一条直线上,OA(2,m),OB(n,1),OC(5,1),且OA OB,求 m、n 的值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 平面向量的坐标运算 例1 已知A(1,2),B(2,8),分析 待定系数法设定点C、D的坐标,再根据向量,和关系进行坐标运算,用方程思想解之Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 设 C、D 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)由题意得AC(x11,y12),AB(3,6)DA(1x2,2y2)
7、,BA(3,6)又AC 13AB,DA 13BA(x11,y12)13(3,6),(1x2,2y2)13(3,6)即(x11,y12)(1,2),(1x2,2y2)(1,2)x111 且 y122,1x21 且 2y22x10 且 y14,x22 且 y20点 C、D 和向量CD 的坐标分别为(0,4)、(2,0)和(2,4)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 向量共线的坐标表示 例2 若平面向量b与向量a(1,2)的夹角是180,且|b|3,则b()A(3,6)B(3,6)C(6,3)D(6,3)解析 解法1:确定一个平面向量需要两个独立的条件,因此,可设b(x,y)
8、,由a,b的夹角为180,得ab,1y(2)x0;由|b|3 得x2y245,联立解得 当b(3,6)时,a与b的夹角为0,不合题意,b(3,6)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法 2:向量 b 与向量 a 的夹角是 180,ba(0,b0),右焦点为 F(c,0)(c0),则 c2a2b2.不妨设 l1:bxay0,l2:bxay0,则|FA|bca0|a2b2 b,|OA|OF|2|AF|2a.因为|AB|2|OA|2|OB|2,且|OB|2|AB|OA|,所以|AB|2|OA|2(2|AB|OA|)2,于是得 tanAOB|AB|OA|43.Copyrigh
9、t 2004-2009 版权所有 盗版必究 又BF与FA同向,故AOF12AOB,所以 2tanAOF1tan2AOF43.解得 tanAOF12或 tanAOF2(舍去)因此ba12,a2b,c a2b2 5b.双曲线的离心率为 eca 52.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1 向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理平面向量实数对(x,y)任何一个平面向量都有唯一的坐标表示,但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一,也就是说,向量的坐标表示与向量不是的关系,但和起点为原点的向量是的关系即向量(x,y)点A(x,y)向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 理解向量平行与线段平行,向量相等与线段相等的关系是解题的关键Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向,用对应的终点坐标减去始点坐标,本节易忽略点有二:一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标;二是向量共线的坐标表示易与后面向量垂直的坐标表示混淆Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究