1、模块综合评估(一)一、选择题(每小题5分，共60分)1已知集合Ax|x210，则下列式子表示正确的个数为(C)1A；1A；A；1，1A.A1 B2 C3 D4解析：集合Ax|x2101,1，则1A，A，1，1A，即正确2函数ylg(1x)的定义域是(C)A(1,3) B1,3 C. D(1,3解析：由题意得解得x0，所以ff(4)f(16)164.4若幂函数的图像过点，则幂函数增加的区间是(D)A(0，) B0，) C(，) D(，0)解析：设幂函数为yx，将点代入得2，解得2，于是幂函数为yx2.所以幂函数增加的区间是(，0)5下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为(B)A
2、y|lgx|，x(0，) Bylog2|x|，xR且x0Cy，xR Dyx31，xR解析：显然y|lgx|，x(0，)的定义域关于原点不对称，因此不具有奇偶性；依据ylog2|x|，xR且x0的图像可得它既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数；y，xR是奇函数；yx31，xR不具有奇偶性6已知f(x)是偶函数，xR，当x0时，f(x)为增函数，若x10，且|x1|f(x2) Bf(x1)f(x2) Df(x1)0时，f(x)为增函数，当|x1|x2|时，f(|x1|)f(|x2|)，又f(x)是偶函数，f(x1)b)，若f(x)的图像如左图所示，则函数g(x)axb的图像是(A)解析：由已知
3、函数的图像结合根的分布知识得由于函数g(x)axb的图像是由yax(0a1)个单位得到的，故选A.8函数f(x)log3x82x的零点一定位于区间(B)A(5,6) B(3,4) C(2,3) D(1,2)解析：f(3)log3382310.又f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)9已知a1，在同一个坐标系中作出两个函数的图像(如图)，则这两个函数可以为(D)Ayax和yloga(x)Byax和ylogax1Cyax和ylogax1Dyax和yloga(x)解析：从图中观察可以发现，上面的图像应是底数小于1的指数函数的图像，下面的图像应是底数大于1的对数函数的图像关于y
4、轴的对称图形，比较四个选项中的函数可知两个函数应为yax和yloga(x)10已知f(x)x2 014ax2 0138，f(1)10，则f(1)等于(D)A10 B10 C4 D24解析：令g(x)x2 014ax2 013，则g(1)1ab18，所以ba17，所以g(1)1ab16，所以f(1)g(1)824.11已知函数f(x)则f(x)的值域是(D)A0，) B1,3C1，) D0,3解析：本题考查分段函数知识及函数值域的求解本题可直接求解各段函数的值域然后取并集，也可结合函数图像直观求解，如图，观察图像可知其值域为0,312已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有3个不同的实根，则实
5、数k的取值范围为(D)A(0，) B1，) C(0,2) D(1,2解析：本题考查了函数的零点及图像的问题，体现了数形结合思想的实际应用函数f(x)的图像如图所示，当k(1,2时，直线yk与函数f(x)的图像有3个不同的交点，即关于x的方程f(x)k有3个不同的实根，故应选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中O，A，B三点的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(1,3)，则f的值等于2.解析：本题考查了函数的识图能力由题意，f(3)1，f(1)2，所以ff(1)2.14某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边
6、角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为180.解析：依题意知：，即x(24y)，阴影部分的面积Sxy(24y)y(y224y)，当y12时，S有最大值为180.15函数y2的递减区间是.解析：令u22x3x2，y2u，由u3x22x2知，u在上为减函数，而y2u为增函数，所以函数的递减区间为.16下列四个结论中正确的有(填序号)函数f(x)lg(x1)lg(x1)的定义域是(1，)；若幂函数yf(x)的图像经过点(2,4)，则该函数为偶函数；函数y5|x|的值域是(0，)；函数f(x)x2x在(1,0)内有且只有一个零点解析：对于，由题意得解得x1，故正确；f(x)
7、x的图像过点(2,4)，24，2，f(x)x2，为偶函数，故正确；|x|0，y5|x|1，函数y5|x|的值域是1，)，故不正确；f(1)1210，f(x)x2x在(1,0)内至少有一个零点，又f(x)x2x为增函数，f(x)x2x在(1,0)内有且只有一个零点，故正确三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17(10分)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值解：Ax|x23x202，1，由(UA)B，得BA.方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1.若B2，则(m
8、1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立B2若B1，2，则(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2.由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.18(12分)设函数f(x)ln.(1)判断函数f(x)在区间(1，)上的单调性，并加以证明；(2)对于区间2,4上的任意一个x，不等式f(x)exm恒成立，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)在区间(1，)上是单调递减的证明：设x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)lnlnlnln.由于x1，x2(1，)，且x1x1x2(x1x2)10，故1，所以ln0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在区间(1
9、，)上单调递减(2)由f(x)exm，得mf(x)ex，依题知mf(x)exmin，记g(x)f(x)ex，由(1)知f(x)在区间2,4上是递减的，且yex在区间2,4上是递减的，所以g(x)f(x)ex在区间2,4上是递减的所以g(x)ming(4)lne4.故实数m的取值范围为.19(12分)已知函数f(x)ax32ax3a4在区间(1,1)上有一个零点(1)求实数a的取值范围；(2)若a，用二分法求方程f(x)0在区间(1,1)上的根解：(1)若a0，则f(x)4与题意不符，a0，f(1)f(1)8(a1)(a2)0，1a0，f(1)0，零点在(0,1)上又f0，f(x)0的根为.20
10、(12分)已知函数f(x)lg(1x)lg(1x)(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)若f(x)lgg(x)，判断函数g(x)在(0,1)内的单调性，并用定义证明解：(1)要使函数f(x)有意义，须满足解得1x1，故函数f(x)的定义域为(1,1)(2)函数f(x)为偶函数理由如下：由(1)知，函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)lg(1x)lg(1x)f(x)，故f(x)为偶函数(3)函数g(x)在(0,1)内单调递减证明如下：f(x)lg(1x2)lgg(x)，g(x)1x2.对于任意的0x1x20，即g(x1)g(x2)故g(x)在(0,1)内单调
11、递减21(12分)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大解：(1)当0500时，f(x)0.05500500212x，故f(x)(2)当0500时，f(x)12x120且a1)(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1，)上的单调性并加以证明；(3)当a1，x(1，)时，f(x)的
12、值域是(1，)，求a的值解：(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)在其定义域内恒成立，即logaloga，1m2x21x2恒成立，m1或m1(舍去)，m1.(2)由(1)得f(x)loga(a0且a1)，设t(x)，任取x1，x2(1，)，且x11，x21，x10，x210，x2x10.t(x1)t(x2)，即，当a1时，logaloga，即f(x1)f(x2)；当0a1时，logaloga，即f(x1)1时，f(x)在(1，)上是减函数，当0a1时，f(x)loga在(1，)上为减函数，要使f(x)在(1，)上值域为(1，)，即loga1，可得a，令g(x)1在(1，)上是减函数，所以g(x)(1，)，所以a12，即满足条件，所以a2.
