1、考点规范练34二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0 之间,则b应取的整数值为()A.2B.1C.3D.0答案:B解析:由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)0,即b-78(b-2)0,解得78b0,则当直线y=-ax+z过点O(0,0)时,z取得最小值0,不合题意;若a0,则当直线y=-ax+z过点C(4,0)时,z取得最小值为4a,由4a=-8,得a=-2.11.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组2x+3y-60,x+y-20,y0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.答案:2解析:由约束条件画出可
2、行域,如图(阴影部分)所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=|-2|2=2.12.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1 kg、B原料2 kg;生产乙产品1桶需耗A原料2 kg,B原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12 kg.试通过合理安排生产计划,求从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润.解:设每天分别生产甲产品x桶,乙产品y桶,相应的利润为z元,则x+2y12,2x+y12,x0,y0,z=300x+400y,在坐标平面内画
3、出该不等式组表示的平面区域及直线300x+400y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=300x+400y取得最大值,最大值是z=3004+4004=2800,即该公司可获得的最大利润是2800元.能力提升13.(2020浙江衢州模拟)若实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+3y6,y+10,则z=2|x|-y的最小值是()A.-25B.5C.-1D.-2答案:C解析:作出实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+3y6,y+10所表示的平面区域,即可行域,如图所示.由已知可得点A,B,C,D的坐标分别为A92,-1,B35,
4、85,C(-2,-1),D(0,1).若x0,则z=2|x|-y可化为y=2x-z,由图可知,当直线y=2x-z过点D时,直线在y轴上的截距最大,此时z取得最小值-1.若x0,则z=2|x|-y可化为y=-2x-z,由图可知,当直线y=-2x-z过点D时,直线在y轴上的截距最大,此时z取得最小值-1.故选C.14.(2020湖南长沙模拟)若实数x,y满足x-y+10,x+y-30,x0,且2x+y-3k(x-2)恒成立,则k的取值范围是()A.(-,-1B.(-,1C.-1,+)D.1,+)答案:D解析:作出不等式组x-y+10,x+y-30,x0所表示的平面区域,即可行域,它为ABC及其内部
5、,其中A(1,2),B(0,3),C(0,1),如图所示.对于可行域内任一点P(x,y),都有0x1,x-20.2x+y-3k(x-2),即为k2x+y-3x-2=2+y+1x-2恒成立,转化为求z=2+y+1x-2的最大值,又y+1x-2的几何意义为点P(x,y)和点M(2,-1)连线的斜率,由图可知,kMAy+1x-2kMC,即-3y+1x-2-1.z-1,1,即zmax=1.k1.15.已知D=(x,y)x+y-20,x-y+20,3x-y+60,给出下列四个命题:p1:(x,y)D,x+y0;p2:(x,y)D,2x-y+10;p3:(x,y)D,y+1x-1-4;p4:(x,y)D,
6、x2+y22.其中是真命题的是()A.p1,p2B.p2,p3C.p3,p4D.p2,p4答案:D解析:可行域为一个ABC及其内部,其中A(-2,0),B(0,2),C(-1,3),所以直线z=x+y过点A时取最小值-2-4;到原点距离的平方的最小值为|0-0+2|22=2,因此选D.16.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧连续剧播放时长/min广告播放时长/min收视人次/万甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 min,广告的总播放时间
7、不少于30 min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解:(1)由已知,x,y满足的数学关系式为70x+60y600,5x+5y30,x2y,x0,y0,即7x+6y60,x+y6,x-2y0,x0,y0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分:图(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-125x+z25,这是斜率为-125
8、,随z变化的一族平行直线,z25为直线在y轴上的截距,当z25取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距z25最大,即z最大.解方程组7x+6y=60,x-2y=0,得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.图高考预测17.已知关于x的方程x2+(a+1)x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1,x2,且0x11,则b-1a的取值范围是()A.-1,-14B.-1,14C.(-1,+)D.(-,-1)14,+答案:B解析:关于x的方程x2+(a+1)x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1,x2,且0x11,f(0)0,f(1)0,2a+2b+30,2a+2b+30的点A(a,b)与点Q(0,1)连线的斜率,解不等式组a+2b+1=0,2a+2b+3=0,得点P的坐标为-2,12.又kPQ=14,直线2a+2b+3=0的斜率为-1,-1k14,即b-1a的取值范围是-1,14.
