1、2.3.2双曲线的几何性质1掌握双曲线的简单几何性质(重点)2理解双曲线的渐近线及离心率的意义(难点)基础初探教材整理双曲线的几何性质阅读教材P52P54“例1”内容，完成下列问题.标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围_对称性对称轴：_，对称中心：_顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长_，虚轴长_离心率_渐近线yx_【答案】xa或xaya或ya坐标轴原点2a2be且e1yx1若双曲线1(m0)的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_【解析】由双曲线方程得出其渐近线方程为yx，m3，求得双曲线方程为1，从而得到焦点坐标为(，0)，(，0)【答案】(，0)，
2、(，0)2设中心在原点的双曲线与椭圆y21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是_. 【导学号：15460038】【解析】椭圆的焦点为(1,0)，双曲线的焦点为(1,0)，椭圆的离心率e，双曲线的离心率e，又c2a2b2，12a2，a2b2，所求双曲线方程为2x22y21.【答案】2x22y21质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型根据双曲线方程研究几何性质求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程【精彩点拨】化为标准方程形式求出a
3、，b，c得双曲线的几何性质【自主解答】把方程nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e.顶点坐标为(，0)，(，0)渐近线的方程为yxx.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键2由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值3由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质再练一题1将本“例1”双曲线方程改为“16x29y2144”，试求实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程【解】方程变形为1，a4，b3，c5，实半轴长为4，虚半轴长为3，焦点为(
4、0,5)，(0，5)，渐近线方程为yx，顶点为(0,4)，(0，4)，离心率e.求双曲线的标准方程求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)【精彩点拨】分析双曲线的几何性质求a，b，c确定(讨论)焦点位置求双曲线的标准方程【自主解答】(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c13，因为，所以a5，b12.故所求双曲线的标准方程为1.(2)法一因为双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为
5、1(a0，b0)，则.因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为y2(0)因为点A(2，3)在双曲线上，所以(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为1.1求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程求解2若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为“mx2ny21”的形式，为简单起见，常标明条件“mn0”再练一题2已知中心在原点的双曲线C的右焦点
6、为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是()【导学号：15460039】A.1B1C.1 D1【解析】右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c3.又离心率为，故a2，b2c2a232225，故双曲线C的方程为1，选B.【答案】B探究共研型双曲线的离心率探究椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？【提示】如右图，作直线1，在双曲线1的各支向外延伸时，与两直线无限接近，把这两条直线叫做双曲线的渐近线；双曲线的“张口”大小取决于的值，设e，则.当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口
7、”逐渐增大双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1，0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围【精彩点拨】写出直线l的方程写出点(1,0)到直线l的距离写出点(1,0)到直线l的距离依题意列出不等式求出e的范围【自主解答】直线l的方程为1，即bxayab0.点(1,0)到直线l的距离d1，点(1,0)到直线l的距离d2，sd1d2，由sc，得c，即5a2c2，于是得52e2，即4e425e2250，得e25.由于e1，所以e的取值范围是e.双曲线离心率及其范围的求法1双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等2
8、双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a，|a|等非负性再练一题3设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A. BC4 D【解析】根据双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a.又(|PF1|PF2|)2b23ab，所以4a2b23ab，即(ab)(4ab)0，又ab0，所以b4a，所以e.【答案】D 构建体系1已知
9、双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2BC. D1【解析】由题意得e2，2a，a234a2，a21，a1.【答案】D2若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()Ay23x236 Bx23y236C3y2x236 D3x2y236【解析】椭圆4x2y264，即1，焦点为(0，4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c4，e，从而a6，b212，故所求双曲线的方程为y23x236.【答案】A3已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_. 【导学号：15460040】【解析】由题意得解得
10、a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.【答案】124已知双曲线1(0n12)的离心率为，则n_.【解析】0n12，a2n，b212n，c2a2b212，e，n4.【答案】45求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程【解】渐近线方程为yx，设双曲线方程为x23y2.将(3，2)代入求得3，所以双曲线方程为y21.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，则它的标准方程是()A.1B1C.1 D1【解析】设等轴双曲线方程为1(a0
11、)，a2a262，a218，故双曲线方程为1.【答案】B2已知双曲线方程为x21，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l()A4条 B3条C2条 D1条【解析】因为双曲线方程为x21，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】B3双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于()A2 B2C4 D4【解析】由已知得e2，所以ac，故bc，从而双曲线的渐近线方程为yxx，由
12、焦点到渐近线的距离为，得c，解得c2，故2c4，故选C.【答案】C4若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相等 C离心率相等 D焦距相等【解析】若0k0,16k0，故方程1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e；同理方程1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】D5双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为()A2 BC. D【解析】双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为yx，即1，e.【答案】C二、填空题6在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率
13、为，则m的值为_. 【导学号：15460041】【解析】c2mm24，e25，m24m40，m2.【答案】27已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_【解析】由双曲线方程知，b4，a3，c5，则虚轴长为8，则|PQ|16.由左焦点F(5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上由双曲线的定义可知|PF|PA|2a，|QF|QA|2a，两式相加得，|PF|QF|(|PA|QA|)4a，则|PF|QF|4a|PQ|431628，故PQF的周长为281644.【答案】448设
14、直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_【解析】由得点A的坐标为，由得点B的坐标为，则AB的中点C的坐标为，kAB，kCP3，即3，化简得a24b2，即a24(c2a2)，4c25a2，e2，e.【答案】三、解答题9双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，求双曲线的标准方程和离心率【解】由椭圆1，知c2641648，且焦点在y轴上，双曲线的一条渐近线为yx，设双曲线方程为1.又c22a248，a224.所求双曲线的方程为1.由a224，c248，得e22，又e0，e.10已知双曲线1的右焦点
15、为(2,0)(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x2围成的三角形的面积【解】(1)双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为1，c2a2b23b24，b21，双曲线的方程为y21.(2)a，b1，双曲线的渐近线方程为yx，令x2，则y，设直线x2与双曲线的渐近线的交点为A，B，则|AB|，记双曲线的渐近线与直线x2围成的三角形的面积为S，则S2.能力提升1已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均与曲线C：x2y26x50相切，则该双曲线的离心率等于() 【导学号：15460042】A. BC. D【解析】圆C的标准方程为(x3)2y24，所以圆心坐标为C(3,0)，半径r2，
16、双曲线的渐近线为yx，不妨取yx，即bxay0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d2，即9b24(a2b2)，所以5b24a2，b2a2c2a2，即a2c2，所以e2，e，选A.【答案】A2设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C5x4y0 D4x3y0【解析】由题意可知|PF2|F1F2|2c，所以PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1
17、|24b，又|PF1|PF2|2a，所以4b2c2a，所以2bac，两边平方可得4b24aba2c2a2b2，所以3b24ab，所以4a3b，从而，所以该双曲线的渐近线方程为4x3y0，故选D.【答案】D3过双曲线x21的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为_【解析】双曲线的左焦点为F1(2,0)，将直线AB的方程y(x2)代入双曲线方程，得8x24x130.显然0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2，|AB| 3.【答案】34已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2，其中O为原点，求k的取值范围【解】(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2.又因为a2b2c2，所以b21，故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21中，得(13k2)x26kx90，由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2且k22得xAxByAyB2，而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)2，于是2，解此不等式得k23.由得k21.故k的取值范围是.
