1、递推公式求通项的十种类型类型1.等差数列:相邻两项递推形式:为常数,)或者相邻三项递推形式:.这种递推形式下,直接用等差数列的通项公式:即可解决!例1.已知数列的前项和为,满足,则()ABCD解析:, = 1,是以1为首项,以1为公差的等差数列,即,().当时,也适合上式,.故选:A.注1:在等差数列中,有一类比较特殊的递推类型,即,它可以得到两个子数列分别是公差为的等差数列.例2已知数列的前n项和为,且,则数列的前2021项的和为()ABCD解析:,解得,两式相减,得,数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列,当为偶数时,当为奇数时,为偶数,根据上式和(*)知,数列的通项公式是,易知是以2
2、为首项,2为公差的等差数列,故,设的前n项和为,则故选:A例3数列中,求的通项公式;解析:(1)由,-,的奇数项与偶数项各自成等差数列,由,n为奇数,n为偶数.类型2.等比数列:相邻两项递推:或.或者相邻三项递推:.注2:在等比数列应用中,有一类比较特殊的递推类型,即,我们可以对其赋值得到一个等比数列.例4数列中,对任意有,若,则()ABCD解析:由任意都有,所以令,则,且,所以是一个等比数列,且公比为,则所以,故选:D.例5已知数列满足且,求通项;解析:当为奇数时,由知数列是公差为2的等差数列,为奇数;当为偶数时,由知数列是公比为2的等比数列,为偶数.类型3.累加型例6若数列满足,求的通项公
3、式.解析:因为,所以,故.类型4.()累乘型.例7数列及其前n项和为满足:,当时,则()ABCD解析:当时,即,所以累乘得:,又,所以所以则. 故选:C.类型5.型(待定系数法)一般形式:为常数,可以构造一个等比数列,只要在每一项同加上一个常数即可,且常数,令,则为等比数列,求出,再还原到,.例8在数列中,求的通项公式.解析:依题意,数列中,所以,所以数列是首项为,公比为的等比数列.例9.(2014年新课标全国1卷)已知数列满足,证明是等比数列,并求的通项公式.解析:显性构造:,.类型6.型例10已知数列的首项,且满足求数列的通项公式;解析:,又,故是以2为首项,2为公比的等比数列,则类型7.
4、型.方法1.数学归纳法.方法2.,令,则,用累加法即可解决!(公众号:凌晨讲数学)例11.(2020年新课标全国3卷)设数列满足,.(1)计算,猜想的通项公式并加以证明;(2)求数列的前n项和.解析:方法1:归纳法.(1) 猜想 得,.因为,所以方法2:构造法.由可得:,累加可得:.(2)由(1)得,所以. .得,类型8.型例12已知数列满足,求数列的通项公式.因为,所以,即,又,所以,所以数列为首项为1,公差为1的等差数列,所以,故,所以数列的通项公式为.类型9.已知与关系,求.(公众号:凌晨讲数学)解题步骤:第1步:当代入求出;第2步:当,由写出;第3步:();第4步:将代入中进行验证,如
5、果通过通项求出的跟实际的相等,则为整个数列的通项,若不相等,则数列写成分段形式, 在本考点应用过程中,具体又可分为三个角度,第一,消留,第二个角度,消留,第三个角度,级数形式的前n项和,下面我们具体分析.例13已知数列的前项和为,. 证明:数列是等差数列.证明:,易知,数列是公差为2的等差数列.例14设数列的前项和为,且满足,. 求.解析:因为,所以,则,即为首项为,公差为的等差数列,则,故.例15已知数列满足求数列的通项公式.解析:,当时,当时,由-,得,因为符合上式,所以例16.(2022新高考1卷)记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列求得通项公式.解析:,所以,所以是首项为,公差为
6、的等差数列,所以,所以当时,所以,即();累积法可得:(),又满足该式,所以得通项公式为类型9:已知前项积求.例17. 记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知(1)证明:数列是等差数列;(2)求的通项公式解析:由已知得,且,,取,由得,由于为数列的前n项积,所以,所以,所以,由于,所以,即,其中,所以数列以为首项,以为公差等差数列.(2)由(1)可得,数列是以为首项,以为公差的等差数列,,当n=1时,,当n2时,显然对于n=1不成立,.类型10.特征方程法(强基层次):型.求解方程:,根据方程根的情况,可分为:(1)若特征方程有两个相等的根,则(2)若特征方程有两个不等的根,则例18已知数列满足,.求数列的通项公式;解析:,变形为:,数列是等比数列,首项为6,公比为3.,变形为:,例19.已知数列满足,求数列的通项解析:其特征方程为,解得,令,由,得, 例20.已知数列满足,求数列的通项解析:其特征方程为,化简得,解得,令 由得,可得,数列是以为首项,以为公比的等比数列,