1、试卷第 1页，总 7页2021 届重庆市八中高三下期第五次模拟考试数学试题数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题）一、单选题（本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）。1已知集合24Ax yx，exBy y，其中 e 是自然对数的底数，则 AB（）AB(0
2、,2C2,)D 2,)2已知 s，r 都是q的充分条件，p 是q的必要条件，r 是 p 的必要条件，则（）A s 是r 的既不充分也不必要条件B s 是 p 的必要条件Cq是 r 的必要不充分条件D p 是r 的充要条件3北斗导航系统由 55 颗卫星组成，于 2020 年 6 月 23 日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）A1021B 1121C 1142D 521试卷第 2页，总 7页
3、4已知点(4,)Pm 是直线1 3,:5xtlyt （Rtt，是参数）和圆1 5cos,:5sinxCy（R,是参数）的公共点，过点 P 作圆C 的切线 1l，则切线1l的方程是（）A34280 xyB34280 xyC3130 xyD3160 xy5在正方体1111ABCDA B C D中，E 是1C C 的中点，则直线 BE 与平面1B BD所成角的正弦值为（）A105B105C155D1556已知函数 sin 2fxx，exg x，则下列图象对应的函数可能为（）A2ln4yfxgxBln2yfxgxC3ln4yfxgxDln4yfxgx7已知直线:40l xy与 x 轴相交于点 A，过直
4、线 l 上的动点 P 作圆224xy的两条切线，切点分别为 C，D 两点，记 M 是CD 的中点，则 AM 的最小值为（）A2 2B3 2C 17D38已知函数 1ee21xxxfx，若不等式 2121f axfax 对x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A0,eB0,eC0,1D0,1试卷第 3页，总 7页二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）。9关于函数 111f xxx的结论正确的是（）A fx 在定义域内单调递减B fx 的值域为 RC fx 在定义城
5、内有两个零点D12yfx是奇函数10传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若 831mf xxnx，则（）A f x 的展开式中的常数项是56B f x 的展开式中的各项系数之和为0C f x 的展开式中的二项式系数最大值是70D 16f i ，其中i 为虚数单位11如图，在矩形 ABCD 中，2ABAD，E 为边 AB 的中点，将 ADE沿直线 DE
6、翻折成1A DE，若 M 为线段1AC 的中点，则 ADE在翻折过程中，下列说法正确的是（）试卷第 4页，总 7页A存在某个位置，使1DEACB MB 为定值C存在某个位置，使 MB 平面1A DED若1AD，当三棱锥1ADEC的体积最大时，该三棱锥的外接球表面积是 412已知函数()sin()(0)f xx 满足00112f xf x，且()f x在00,1x x 上有最小值，无最大值.则（）A0112fx B若00 x，则()sin 26f xxC()f x 的最小正周期为 3D()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为 1346 个第 II 卷（非选择题）三、填空题（本题共 4 小
7、题，每小题 5 分，共 20 分）。13已知 F 是抛物线24yx的焦点，点 00,P xy在抛物线上，且2PF，则0y _.14已知 sina=35，则 cos(4+a)sin(4-a)=_.15已知函数2()2f xxaxb，()xR.下列四个命题：aR，使()f x 为偶函数；若(0)(2)ff，则()f x 的图象关于直线1x 对称；若20ab，则()f x 在区间,)a 上是增函数；试卷第 5页，总 7页若220ab，则函数()()2h xf x有两个零点.其中所有真命题的序号是_.16用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9 的因数有 1，3，9，(9)9g
8、，10 的因数有 1，2，5，10，(10)5g，那么2015(1)(2)(3)(21)gggg_四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。17已知正项等比数列 na的前n 项和为nS，若1a，3a，210a 成等差数列，3210Sa.（）求na 与nS；（）设2log2nnnbSa，数列 nb的前n 项和记为nT，求nT.18在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且22232sinacbbcA（1）求 B；（2）若ABC的面积是 2 33，2ca，求 b19某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考
9、生的数据，统计如下表：（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩 y 与数学成绩 x 之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立 y 关于 x 的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；数学成绩 x4665798999109110116123134140物理成绩 y505460636668070737680试卷第 6页，总 7页（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布2(,)N ，用剔除异常数据后的样本平均值作为 的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为 的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y
10、的期望.附：参考数据：111iix111iiy111iiix y1121iix1121iiyy2586832611106606858612042647700.31上表中的 x；表示样本中第i 名考生的数学成绩，y；表示样本中第i 名考生的物理成绩，111111iiyy.参考公式：对于一组数据：12,nu uu，其方差：22221111nniiiisuuuunn.对于一组数据 1122,nnu vu vu v，其回归直线vabu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221niiiniiu vnuvbunu，avbu.若随机变量 服从2,N ，则()0.683P，220.55()9P，330.97(
11、)9P.20如图，在直棱柱111ABCA B C中，12AAABAC，ABAC，,D E F分别是111,A B CCBC 的中点（1）求证：AEDF；（2）求 AE 与平面 DEF 所成角的大小及点 A到平面 DEF 的距离试卷第 7页，总 7页21如图，已知双曲线22:13yC x 的左右焦点分别为1F、2F，若点 P 为双曲线C 在第一象限上的一点，且满足128PFPF，过点 P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线 PA、PB 与渐近线的交点分别是 A 和 B.（1）求四边形OAPB 的面积；（2）若对于更一般的双曲线2222:10,0 xyCabab，点 P 为双曲线C 上任意一点，过
12、点 P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线 P A、P B 与渐近线的交点分别是 A 和 B.请问四边形OA P B 的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用a、b 表示该定值）；若不是定值，请说明理由.22如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 AB 为 6，O 是圆心，且 OCAB.在 OC 上有一座观赏亭 Q，其中AQC 23，.计划在 BC 上再建一座观赏亭 P，记POB(0)2.（1）当 3 时，求OPQ 的大小；（2）当OPQ 越大时，游客在观赏亭 P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角的正弦值答案第 1页，总 20页参考答案一.单选题。1B【分析】根据函数的
13、定义域求法以及指数函数的值域求出集合,A B，再由集合的交运算即可求解.【详解】24222,2Ax yxxx ，e00,xBy yy y，所以 AB(0,2.故选：B2D【分析】根据题意得到,qp pr qr，再逐项判断.【详解】由题意得,sq rq qp pr，所以,qp pr qr，所以 sr，所以 s 是r 的充分条件，故 A 错误；s 是 p 的充分条件，故 B 错误；q是 r 的充要条件，故 C 错误；p 是 r 的充要条件，故 D 正确；故选：D.3B【分析】根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为252710
14、21CPC，答案第 2页，总 20页所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为101112121.故选：B.4A【分析】求出 P 点坐标，把圆方程化为普通方程，得圆心坐标，由切线性质求得切线斜率，得切线方程【详解】由1 34t得1t ，则5 14y ，所以(4,4)P，圆C 的普通方程为22(1)25xy，圆心为(1,0)C，4044 13CPk ，所以切线的斜率为34k，方程为34(4)4yx，即34280 xy故选：A5B【分析】以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系，求出平面1B BD 的法向量(,)nx y z，然后利用向量法可求cos,n BE，从而求直线 BE 与平面1B BD 所成角的
15、正弦值.【详解】解：以 D 为坐标原点，以 DA 为 x 轴，以 DC 为 y 轴，以1DD 为 z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(0,0,0)D，(2,2,0)B，1(2,2,2)B，(0,2,1)E答案第 3页，总 20页(2,2,0)BD，1(0,0,2)BB，(2,0,1)BE 设平面1B BD 的法向量为(,)nx y z，BDn，1nBB，22020 xyz，令1y ，则(1,1,0)n，10cos,5|BEn BEnBEn，设直线 BE 与平面1B BD 所成角为，则10sin|cos,|5BEn，故选：B6D【分析】A.当0 x 时，1y ，不符合题意；B
16、.其图象不关于 y 轴对称，不符合题意；C.其图象不关于 y 轴对称，不符合题意；D.其图象关于 y 轴对称，当0 x 时，1y ，符合题意.【详解】A.222lnsin 2cos242yfxgxxxxx，当0 x 时，1y ，不符合题意；B.lnsin 2sin22yfxgxxxxx，其图象不关于 y 轴对称，不符合题意；C.333lnsin 2cos242yfxgxxxxx，其图象不关于 y 轴对称，不符合题意；D.lnsin 2cos242yfxgxxxxx，其图象关于 y 轴对答案第 4页，总 20页称，当0 x 时，1y ，符合题意.故选：D.【点睛】方法点睛：根据图象找解析式，一般
17、先找差异，再验证，即得解.7A【分析】设点+4P tt，1122,C x yD xy，根据圆的切线的性质可得 C，D 在以 OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由 C，D 在圆224xy上，可得直线 CD 的方程，求得直线 CD 恒过定点11Q ，从而得 M 在以 OQ 为直径的圆，得出圆的方程可求得AM 的最小值【详解】设点+4P tt，1122,C x yD xy，因为 PD，PC 是圆的切线，所以,ODPD OCPC，所以 C，D 在以 OP 为直径的圆上，其圆的方程为2222+4+4224tttxty，又 C，D 在圆224xy上，则将两个圆的方程作差得直线 CD 的方程：+440tx
18、ty，即 410t xyy，所以直线 CD 恒过定点11Q ，又因为OMCD，M，Q，C，D 四点共线，所以OMMQ，即 M 在以 OQ 为直径的圆22111+222xy上，其圆心为1 12 2O，半径为22r=，所以22min11242 2222AMAOr，所以 AM 的最小值为2 2，故选：A答案第 5页，总 20页【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成yk xab，将 xa带入原方程之后，所以直线过定点ab，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的 m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点
19、.取两个 m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.8D【分析】构造函数 12g xfx，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为2111 222f axfax，即 221g axgax，再利用函数单调性解不等式即可.【详解】1ee21xxxf xQ，1111eeee121212121xxxxxxxxf xfx令 12g xfx，则 0g xgx，可得 g x 是奇函数，又 2121eeeee21e21ln 2ln 2+2122xxxxxxxxxxxgx，又利用基本不等式知e2+1exx 当且仅当1eexx，即0 x 时等号成立；ln 2ln 214222xx当且仅当122x
20、x，即0 x 时等号成立；答案第 6页，总 20页故 0gx，可得 g x 是单调增函数，由 2121f axfax 得 21111212222f axfaxfax ，即 21221g axgaxgax，即2210axax 对x R 恒成立.当0a 时显然成立；当0a 时，需20440aaa，得01a，综上可得01a，故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：（1）把不等式转化为()()f g xf h x的模型；（2）判断 fx 的单调性，再根据函数的单调性将“f”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.二.多选
21、题。9BD【分析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断，即可得解.【详解】111f xxx的定义域为(,1)(1,0)(0,)UU，而 1x 和11x 在各段定义域内均为减函数，故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故 A 错误；当(1,0)x，1x 时，有 111f xxx，当0 x 时，有 111f xxx，答案第 7页，总 20页所以 fx 的值域为 R，故 B 正确；令 2112101xf xxxxx，可得12x ，所以 fx 在定义城内有一个零点，故 C 错误；2211128111241224xxyfxxxxx，令28()41xg xx，易知12x ，此
22、时定义域关于原点对称，且28()()41xgxg xx，故()g x 为奇函数，所以12yfx是奇函数，故 D 正确，故选：BD.10BC【分析】设内切球的半径为r，由圆柱和球的体积和表面积公式可求得,m n，进而得到 fx；对于 A，利用二项式定理得到展开式通项，令2440r可求得 r，代入得到常数项，知 A 错误；对于 B，采用赋值法，令1x 可得各项系数和，知 B 正确；对于 C，由二项式系数性质知最大值为48C，知 C 正确；对于 D，根据复数的运算可知 D 错误.【详解】设内切球的半径为r，则圆柱的高为 2r，2323423rrmr，22222342rrrnr，则1mn ，831f
23、xxx；对于 A，fx 展开式通项公式为：24 324 418811rrrrrrrTC xC xx ，令2440r，解得：6r，f x展开式的常数项为668128C，A 错误；答案第 8页，总 20页对于 B，10f，即 fx 展开式的各项系数之和为 0，B 正确；对于 C，fx 展开式中二项式系数最大值为4870C，C 正确；对于 D，88310f iiiii ，D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题以立体几何的知识为载体，重点考查了二项式定理的知识，解题关键是能够利用球和圆柱的表面积及体积公式确定二项展开式的表达式.11BD【分析】对于选项 A，先假设存在某个位置使得1DEAC，通
24、过说明1DEA E与11DAA E矛盾来判断；对于选项 B，取 CD 中点 F，利用中位线得平行关系以及余弦定理来计算得出 MB是定值；对于选项 C，通过利用中位线、平行四边形说明面面平行，得到 BM1A DE 面.对于选项 D，当1DA EDCE面面时，三棱锥1ADCE的体积最大，1OFDA E 面，F 为三棱锥1ADCE的外接球球心，进而进行计算得出结果.【详解】若存在某个位置使1DEAC,由已知得45oAEDBEC，则 DEEC，又1CEACC，答案第 9页，总 20页1DEA EC 面,得1DEA E，这与使11DAA E矛盾，故 A 错误;取 CD 中点 F，连接 MF,BF，则1M
25、FDA，BFDE，由1A DEMFB，112MFA D为定值，又 FB=DE 为定值,所以由余弦定理可得2222MBMFFBMF FB cos MFB，即 MB 是定值，故 B 正确.因为 M,F 分别为1A C、CD 的中点，所以1MFDA，因为11A DA DE 面,1MFA DE 面,所以1MFA DE 面，因为 DFBE且 DFBE，所以四边形 BEDF 为平行四边形，所以 BFDE，1DEA DE 面,1,BFA DE 面所以1BFA DE 面，又 BFMFF,BF、MFBMF 面,1BMFA DE面面，因为 BMBMF 面,BM1A DE 面,故 C 错误；若 AD=1，则111A
26、 DA E，1DA E是等腰直角三角形，DCE是等腰直角三角形，当1DA EDCE面面时，三棱锥1ADCE的体积最大，取 DE 中点 O，连接 OF，则OFDE，由1DA EDCE面面，且1DA EDCEED面面，可得1OFDA E 面，又 F 为 DCE的外心，所以 F 为三棱锥1ADCE的外接球球心，半径为 12 CD=1，外接球的表面积为 4，故 D 正确.故选：BD【点睛】对于图形的特点要有一定的认识，证明线线平行、线面平行、面面平行要熟练掌握，对图形的空间立体感要建立起来.12AC答案第 10页，总 20页【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断 A；根据已知三角函数值求角的方法，可得
27、052,6xkkZ，0(1)2,6xkkZ，两式相减可求出，进而求得周期，从而可判断 B 和C 选项；因为3T，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为 673 个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f，进而可判断 D【详解】解：由题意得，()f x 在00,1x x 的区间中点处取得最小值，即0112fx，所以 A 正确；因为00112f xf x，且()f x 在00,1x x 上有最小值，无最大值，所以不妨令052,6kkZ，012,6xkkZ，两式相减得，23，所以23T，即 B 错误，C 正确；因为3T，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰
28、好为 673 个周期，当(0)0f，即k时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673 2 1 1345 个，即 D 错误.故选:AC.【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强三填空题。答案第 11页，总 20页133116【分析】本题可根据抛物线的定义得出结果.【详解】抛物线24yx即214xy，焦点10,16F ，因为点 00,P xy在抛物线上且2PF，所以结合抛物线定义易知，013121616y=-=，故答案为：3116.14 4915050或【分析】利用恒等变换公式化简三角函数表达
29、式，代入三角函数值计算即可.【详解】由3sin5a，则4cos5a ，2222cos()sin()(cossin)(cossin)442222aaaaaa2211113449cossinsincossincos22225550aaaaaa或 150，故答案为：4950或 15015【分析】根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可.【详解】若()f x 为偶函数，则22()2()2fxxaxbf xxaxb，则22222224()0 xaxbxaxbax xb对xR 恒成立，则0a，故正确；答案第 12页，总 20页(0)fb，(2)44fab，若(0)
30、(2)ff，即44bab，则441baba 或4422babab，若取0,2ab ，则2()2f xx关于0 x 对称，错误；若20ab，函数22yxaxb的判别式2440ab，即220yxaxb，22()22f xxaxbxaxb，由二次函数性质，知()f x 在区间,)a 上是增函数，正确；取0,4ab ，满足220ab，则22()4242f xxx或 2，解得2x 或6，即()()2h xf x有 4 个零点，错误；故答案为：【点睛】关键点点睛：对函数的综合性质考察比较综合，除解出参数关系或值外，判断正误也可以通过取一些特殊值快速的找到答案.162015413【解析】由题意得(),(),
31、()(),(),2ng nn ng ngn为奇数为偶数所以20152015201521(1)(2)(3)(4)(22)(21)Sgggggg 20142015(1)(1)(3)(2)(21)(21)gggggg20142015(1)(2)(3)(21)1 3(21)gggg 201420142013201420152014201320142121212(121)4442SSS120152015120132014120132014211 4414441444.1 43S 四解答题。17（）2nna，122nnS；（）12nnTn.答案第 13页，总 20页【分析】（）设公比为q，由题设列方程求q
32、、1a，根据等比数列的通项公式、前 n 项和公式写出na、nS.（）由（）知2(1)nnbn，应用错位相减法求前 n 项和nT 即可.【详解】（）设正项等比数列 na的公比为q，由题意有312321321010aaaSaaa，220qq，而0q，解得2q=，则有118310aa，即12a，2nna，122nnS，*nN.（）由（）知：22(1log2)nnnnbSan.23223242.(1)2nnTn，23412223 242.2(1)2nnnTnn，22311222.2(1)22nnnnTnn ，12nnTn.18（1）3B；（2）2.【分析】（1）根据余弦定理、正弦定理，结合同角的三角函
33、数关系式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】解：（1）由22232sinacbbcA，得222sin32acbbAaca，得sin3cosbABa，得3 cossinaBbA，由正弦定理得3sincossinsinABBA，因为sin0A，所以3 cossinBB，答案第 14页，总 20页所以 tan3B，因为0B，所以3B（2）若ABC的面积是 2 33，则 1132 3sin22223acBaa，解得2 33a，所以4 33c 由余弦定理2222cosbacacB，可得2222 34 32 34 31233332b，所以2b 19（1）0.3135y
34、x，物理成绩为69.1；（2）1585.【分析】（1）结合题中数据以及公式可得 0.3135yx，将 110 代入即可得结果；（2）先得考生的物理成绩服从正态分布266,9N，根据正态分布的概率特征不低于75分的概率，进而得期望.【详解】（1）设根据剔除后数据建立的 y 关于 x 的回归直线方程为ybxa，剔除异常数据后的数学平均分为1110 11010010，剔除异常数据后的物理平均分为 66006610，则2268586 110 0 10 66 10025860.31120426 11010 1008326b，则 660.31 10035a，所以所求回归直线方程为 0.3135yx.答案第
35、 15页，总 20页又物理缺考考生的数学成绩为110，所以估计其可能取得的物理成绩为 0.31 1103569.1y.（2）由题意知66，因为2111122211660114770 114437011iiiiyyyy，所以21443706681910，所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布266,9N，则物理成绩不低于75分的概率为1 0.6830.15852，由题意可知10000,0.1585YB，所以物理成绩不低于75分的人数Y 的期望100000.15851585EY.20（1）见解析（2）51414【解析】试题分析：直三棱柱底面为,ABC ABAC，建立空间直角坐标系
36、，写出相关点的坐标，利用向量数量积为 0，易证 AEDF；再借助求平面的法向量，利用线面角公式及点到平面的距离公式求出对应的值.试题解析：（1）以 A 为坐标原点、AB 为 x 轴、AC 为 y 轴、1AA 为 z 轴建立如图的空间直角坐标系答案第 16页，总 20页由题意可知 0,0,0,0,1,2,2,0,1,1,1,0ADEF，故2,0,1,1,0,2AEDF ，由21120AE DF ，可知 AEDF，即 AEDF（2）设,1nx y是平面 DEF 的一个法向量，又1,0,21,1,1DFEF，故由20,10,n DFxn EFxy 解得2,3,xy 故2,3,1n 设 AE 与平面
37、DEF 所成角为，则570sin14145n AEnAE，所以 AE 与平面 DEF 所成角为70arcsin 14，点 A到平面 DEF 的距离为5sin1414AE【点睛】根据几何体的特征建立适合的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线线垂直，只需说明数量积为零，求点到平面的距离，只需求出平面的法向量，利用点到平面距离公式计算出结果.证明线面、面面的平行或垂直问题，要把握平行与垂直的判定定理和性质定理，严格根据定理进行逻辑推理，有关角和距离的计算大多使用空间向量，借助法向量进行计算.21（1）32；（2）是，且定值为 12 ab.【分析】（1）求出点 P、B 的坐标，计算出点 B 到直线
38、OP 的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形OAPB 的面积；（2）设点00,P xy，求出点 B的坐标，计算出点 B到直线OP 的距离 d，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.【详解】答案第 17页，总 20页（1）因为双曲线22:13yC x，由双曲线的定义可得122PFPF，又因为128PFPF，15PF，23PF，因为122 134F F，所以，2222121PFF FPF，2PFx轴，点 P 的横坐标为2Px，所以，22213Py，0Py，可得3Py，即点 2,3P，过点 P 且与渐近线3yx 平行的直线的方程为332yx，联立3332yxyx ，解得312332xy ，即点33
39、1,322B，直线OP 的方程为320 xy，点 B 到直线OP 的距离为332132 13d，且13OP，因此，四边形OAPB 的面积为322OAPBOBPSSOP d；（2）四边形OA P B 的面积为定值 12 ab，理由如下：设点00,P xy，双曲线22221xyab的渐近线方程为byxa，则直线 P B 的方程为00byyxxa，联立00byyxxabyxa ，解得00002222xaxybybyxa，即点0000,2222xyabByxba，直线OP 的方程为00yyxx，即000y xx y，答案第 18页，总 20页点 B到直线OP 的距离为00222200000022220
40、00022222xyabyyxxa yb xbadxyab xy222222000022a babab xyxy，且2200OPxy，因此，22002200222OA P BOB PababSSOPdxyxy （定值）.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22（1）6.（2）3sin3.【分析】（1）设OPQ，在POQ 中，用正弦定理 sinsinOQOPOPQOQP可得含，的关系式，将其展开化简并整理后得 tancos3sin，将 3 代入得答案；（2）令 f()co
41、s3sin并利用导数求得 f()的最大值，即此时的sin，由（1）可知 tancos3sin，得答案.【详解】（1）设OPQ，在POQ 中，用正弦定理可得含，的关系式因为AQC 23，所以AQO 3.又 OAOB3，所以 OQ3在OPQ 中，OQ 3，OP3，POQ 2，设OPQ，则PQO 2.由正弦定理，得3sin23sin，即3 sincos()答案第 19页，总 20页展开并整理，得 tancos3sin，其中 0,2.此时当 3 时，tan33.因为(0，)，所以 6.故当 3 时，OPQ 6.（2）设 f()cos3sin，0,2.则 f()22sin(3sin)cos(3sin)213sin(3sin).令 f()0，得 sin33，记锐角0 满足03sin3，则2002 3cos1 sin3，即0002 3cos2323sin333f列表如下：(0，0)00,2f()0f()单调递增22单调递减由上表可知，f(0)22是极大值，也是最大值由（1）可知 tanf()0，则0,2，tan单调递增则当 tan取最大值22时，也取得最大值答案第 20页，总 20页故游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时，sin33.【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题.
