1、函数对称性与周期性及应用一 函数的对称性：函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.（公众号：凌晨讲数学）代数表示: (1). (2). 即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.特别地，偶函数(关于轴对称)，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为
2、关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心. 用代数式表示：(1). (2). 一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.（公众号：凌晨讲数学）3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相
3、同.二函数的周期性1.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.2.函数周期性有关结论:设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，则函数是周期函数，且是它的一个周期.(1). (2).(3). (4).3.函数的对称性与周期性性质1. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.性质2. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.（公众号：凌晨讲数学）性质3.若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.特别地：(1).若是奇函数且
4、关于轴对称，则是周期函数，周期为_.(2).若是偶函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为_.(3).若是奇函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为_.(4).若是偶函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为_.4.周期性的应用:(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.(3).单调性：（公众号：凌晨讲数学）由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).二典例分析1（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（）AB
5、CD解析：因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，所以，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.2（2021全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（）ABCD因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D3（2021全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且若的图像关于直线对称，则（）ABCD解析：因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，所以的图像关
6、于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以故选：D4（2022新高考1卷）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（）ABCD解析：因为，均为偶函数，所以即，所以，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC.5（2022新高考2卷）已知函数的定义域为R，且，则（）ABC0D1解析：因为，令可得，所以，令可得，即，所以函数为偶函数，令得，即有，从而可知，故，即，所以函数的一个周期为因为，所以一个周期内的由于22除以6余4，所以故选：A
