1、学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.【答案】1232经计算发现下列不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：_.【解析】10，10，10，不难得出，若ab20，2.【答案】若ab20，则0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根
2、据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.【解析】函数结果的分母中x项系数所组成的数列为1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an2n1.分母中常数项依次为2,4,8,16，其通项为2n.又函数中，分子都是x.当n2时，fn(x)f(fn1(x).【答案】6容易计算2510,22551 210，222555123 210，2 2225 55512 343 210.根据此规律猜想222555所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为_【解析】由已知可归纳出222555123 456 789 876 543 210，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个
3、数字依次为898.【答案】8987某种平面分形图如图215所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120，依此规律得到n级分形图图215则n级分形图中共有_条线段【解析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3323条线段，二级分形图中有93223条线段，三级分形图中有213233条线段，按此规律得n级分形图中的线段条数an32n3(nN*)【答案】32n3(nN*)8把正整数按一定的规则排成了如图216所示的三角形数表，设aij(i
4、，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j行如a428，若aij2 009.则i和j的和为_124357681012911131517141618202224【解析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 00921 0051，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i63，因为第63行的第一个数为296211 923,2 0091 9232(m1)，所以m44，即j44，所以ij107.【答案】107二、解答题9已知数列an的前n项和为Sn
5、，a11且Sn120(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式【解】当n1时，S1a11；当n2时，2S13，S2；当n3时，2S2，S3；当n4时，2S3，S4.猜想：Sn(nN*)10传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图216所示的三角形数：图216将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：(1)b2 014是数列an的第几项？(2)用k表示b2k1.【解】(1)an12n，b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，b2 014a5 035.即
6、b2 014是数列an的第5 035项(2)由(1)知b2k1.能力提升1已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN*，则f2 014(x)的表达式为_【解析】由f1(x)f2(x)f；又可得f3(x)f(f2(x)，故可猜想f2 014(x).【答案】2观察下列等式：1，1，1，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，_.【解析】观察所给等式知，第n个等式的右边为1.【答案】13已知sin230sin290sin2150，sin25sin265sin2125.通过观察上述两等式的规律，请写出一个一般性的命题：_.【答案】sin2(60)sin2sin2(6
7、0)4某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图216所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形图216(1)求f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值【解】(1)f(5)41.(2)f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式规律，得f(n1)f(n)4n.f(n1)f(n)4n，f(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3)当n2时，11.
