1、第九节函数模型及其应用学习要求:1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,会比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,且a0)反比例函数模型f(x)=a+bx(a,b为常数,且b0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)指数函数模型
2、f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,且a0)2.三种增长型函数性质的比较函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与 y轴 平行随x增大逐渐表现为与 x轴 平行随值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当xx0时,有logaxxax3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函
3、数模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的函数模型;(3)求模:求解函数模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结果.以上过程用框图表示如图:1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%后出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.()(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.()(3)不存在x0,使ax0x0a1)的增长速度会超过并远远大于y=x(0)的增长速度.()(5)“指数爆炸”是比喻指数型函数f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b0,
4、a0且a1)的增长速度越来越快.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教A版必修第一册P161T8改编)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年答案B3.(新教材人教A版必修第一册P139T2改编)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x(4,+)时,对三个函数的增长速度进行
5、比较,下列选项中正确的是()A.f(x)g(x)h(x)B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)h(x)g(x)答案B4.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0x2)千吨,求a的最小值,使得供水紧张现象消除.解析(1)设蓄水量为y千吨,根据题意,y=15+2x-10x(0x24),令y=15+2x-10x3,(x-2)(x-3)0,解得2x3,则4x2)千吨,则y=15+ax-10x(0x24),令t=x,则t0,26,则x=t2,f(t)=at2-10t+15,t0,26,对称轴为x=5a
6、,因为a2,所以05a522),解得a2512,所以使得供水紧张现象消除的a的最小值为2512.名师点评利用二次函数模型解决问题的方法在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题建立二次函数解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为(25-x)万元(国家规定大
7、货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入-总支出)解析(1)设大货车运输到第x年年底,该车运输累计收入与总支出的差为y万元,则y=25x-6x+x(x-1)-50=-x2+20x-50(00,可得10-52x10+52,210-523,不符合题意;对于函数y=1.015x-1,当x=100时,y=3.4323,不符合题意;对于函数y=tanx19-1,不满足递增要求,不符合题意;对于函数y=log11(3x-10),满足x(6,100,函数为增函数,且ylog11
8、(3100-10)=log11290log111 331=3,作出y=15x与y=log11(3x-10)的图象如图所示:符合题意,故选D.名师点评有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式,要求根据实际情况求出函数关系式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入关系式求值,然后根据值回答其实际意义.(2020福建厦门三模)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3Q100成正比.当v=1 m/s时,鲑鱼的耗氧量的单位数为890.则当v=2 m/s时,其耗氧量的单位数为()A.2 670B
9、.7 120C.7 921D.8 010答案C设v=klog3Q100,1=klog3890100,k=1log3890100,2=klog3Q1002=log3Q100log3890100log38901002=log3Q100Q=8902100=7 921.分段函数模型典例4首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办.某跨国公司此次带来了高端智能家居产品参展,供购商洽谈采购此产品,并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元,每生产一台需另投入90美元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完,每万台的销售收入为G(x)万美元,G(x)=24
10、0-3x,020.(1)写出年利润S(万美元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(利润=销售收入-成本)(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的利润最大?并求出最大利润.解析(1)当020时,S=xG(x)-(90x+30)=-10x+3 000(x-2)x+1-30.所以函数解析式为S=-3x2+150x-30,020.(2)当020时,S=-10x+3 000(x-2)x+1-30=-10x-9 000x+1+2 970=-10(x+1)-9 000x+1+2 980-29 000x+110(x+1)+2 980=2 380,当且仅当9 000x+1=10(x+1),即x=29时等号成立.
11、因为2 3801 770,所以当x=29时,S的最大值为2 380万美元.故当年产量为29万台时,该公司在该产品中获得的利润最大,最大利润为2 380万美元.名师点评(1)分段函数模型的应用:分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间.对每一个区间进行分类讨论,从而写出函数的解析式,需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者.(2)应用分段函数时的三个注意点:分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏;分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集;分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后再求各段函数值范围的并集.(2020山东潍坊高三月考)“十三五”规
12、划确定了到2020年消除贫困的宏伟目标,打响了精准扶贫的攻坚战,为完成脱贫任务,某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工,已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元,每生产1千件需另投入5.4万元,设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完,每千件的销售收入为g(x)万元,已知g(x)=11.8-130x2(010).(1)请写出月利润y(万元)关于月产量x(千件)的函数解析式;(2)月产量为多少千件时,该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大?并求出最大月利润(精确到0.1万元).解析(1)当010时,y=154x-2 0003x2x-20-5.4x=
13、134-21 0003x+2.7x,y=6.4x-130x3-20,010.(2)当00;x(8,10时,y10时,y=134-21 0003x+2.7x134-41 0003x2.7x=134-120=14,当且仅当x=1009时取等号.综合知,当x=8时,y取最大值14.1,故当月产量为8千件时,该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大,最大月利润为14.1万元.A组基础达标1.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=12x2+2x+20(万元).每一万件的售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为()A.3
14、6万件B.18万件C.22万件D.9万件答案B2.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.衡量音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小可由如下公式计算:=10lgII0(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的()A.76倍B.1076倍 C.10倍D.ln76倍答案C3.(2020新高考,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t
15、)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案B4.(2020湖南衡阳高三二模)2020年3月,国内新冠肺炎疫情得到有效控制,人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客,推出团体购票优惠方案如下表:购票人数15051100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票,则共需支付门票费1 290元;
16、若合并成一个团队购票,则需支付门票费990元,那么这两个旅游团队的人数之差为()A.20B.30C.35D.40答案B易知990不能被13整除,设两个旅游团队的人数分别为a,b,所以两个团队的人数之和a+b51,若51a+b100,则11(a+b)=990,可得a+b=90,由分别购票,共需支付门票费为1 290元,可知11a+13b=1 290,联立可得b=150,a=-60(舍去).若a+b100,则9(a+b)=990,可得a+b=110,由分别购票,共需支付门票费为1 290元,可知1b50,51a100,所以11a+13b=1 290,联立可得a=70,b=40,所以两个旅游团队的人
17、数之差为70-40=30.5.(2020衡水中学实验学校高三一模)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k、b为常数),若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是小时.答案246.意大利著名科学家伽利略说:“给我空间,时间以及对数,我就可以创造一个宇宙.”他把对数与最宝贵的时间和空间相提并论,可见对数在人类科学史上是多么重要.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg、火箭(除燃料)的质量m kg满足函数关系v=2 000ln1+Mm.当
18、燃料质量是火箭质量的倍时,火箭最大速度可达12 km/s.(e6403.429,结果保留整数)答案402解析v=2 000ln1+Mm,火箭的最大速度可达12 km/s,即12 000=2 000ln1+Mm,可得ln1+Mm=6,1+Mm=e6,解得Mm=e6-1402.7.某公司有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,公司决定优化产业结构,调整出x(xN*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10a-x250万元(a0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总
19、利润,则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围.解析(1)由题意得10(1 000-x)(1+0.2%x)101 000,即x2-500x0,又x0,0500,由对勾函数的性质可知函数y=x500+1 000x+1在(0,500上是减函数,函数y=x500+1 000x+1在x=500时取得最小值4,0a4.即a的取值范围为(0,4.8.2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是关于车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当
20、桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度小于20辆/千米,车流速度为100千米/时.研究表明当20x220时,车流速度v是关于车流密度x的一次函数.(1)当20x220时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=xv(x)可以达到最大?并求出最大值.解析(1)由题意知,当0x20时,v(x)=100,当20x220时,设v(x)=ax+b(a0),则20a+b=100,220a+b=0,解得a=-12,b=110,v(x)=100,0x20,-12x+110,20x220,(2)
21、由题意得,f(x)=100x,0x20,-12x2+110x,20x220,当0x20时, f(x)f(20)=2 000;当20x220时, f(x)=-12(x-110)2+6 050, f(x)的最大值为f(110)=6 050,当车流密度为110辆/千米时,车流量最大,最大值为6 050辆/时.B组能力拔高9.光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度为y=k0.9x,要想使光线强度减弱到原来的14以下,至少需要通过这样的玻璃的块数是(lg 30.477,lg 20.3)()A.12B.13C.14D.15答
22、案C光线经过x块玻璃后,强度变为y=0.9xk.由题意得0.9xkk4,即0.9x14,两边同取对数,可得xlg 0.9lg14,lg 0.9lg14lg0.9=-2lg22lg3-1-0.60.954-113.04,又xN*,至少通过14块玻璃,光线强度能减弱到原来的14以下,故选C.10.因市场战略储备的需要,某公司1月1日起,每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面3个折线图中,可以反映这种物资每份价格(单位:万元)的变化情况的是()图图
23、图A.B.C.D.答案B设公司每月1日用于购买某种物资的金额为a.题图中四次购买的物资为a1.25+a+a0.75+a=6215a,5月1日一次卖出物资得到1.256215a=15.53a4a,公司盈利,故正确;题图中四次购买的物资为a+a1.25+a0.75+a1.25=5915a,5月1日一次卖出物资得到15915a=5915a4a,公司盈利,故正确.11.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有a4 L,则m的值为()A.5B.8C.9D.10答案A5 min后甲桶
24、和乙桶的水量相等,函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=12a,可得n=15ln12,f(t)=a12t5,因此,当k min后甲桶中的水只有a4 L时,f(k)=a12k5=14a,即12k5=14,k=10,由题可知m=k-5=5.12.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为2万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)(万元)满足R(x)=-0.4x2+4.2x-0.8(0x5),10.2(x5),假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律:(1)要使工厂有赢利,产量x应控制在什么范围?(2)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多?解析由题可知,G(x)=x+2.设利润函数为f(x),则f(x)=R(x)-G(x)=-0.4x2+3.2x-2.8(0x5),8.2-x(x5).(1)要使工厂有赢利,则f(x)0,当0x5时,-0.4x2+3.2x-2.80,即x2-8x+70,解得1x7,15时,8.2-x0,解得x8.2,5x8.2.综上所述,要使工厂赢利,x应满足1x5时, f(x)8.2-5=3.2,当工厂生产400台产品时,赢利最多.
