1、1九种求外接球与内切球模型【必备知识】模型一:墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长.使用范围:3 组或 3 条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式2222(2)Rabc,即 2R222abc,求出 R.【典例剖析】1四面体 ABCD的每个顶点都在球O的球面上，,AB AC AD 两两垂直，且3AB，2AC，3AD ，则球O的表面积为（）A64B16C 4D2在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，
2、F 分别为线段 AB，BC 的中点，连接 DE，DF，EF，将 ADE，CDF，BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使,A B C 三点重合，得到三棱锥 O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为（）A3B6 C6D24公众号：一枚试卷君.3$%&j*3 2,*3M:,Z&93$AM$%&$&%&A 3$&%&I*3 2,M0j$S%S&SS.X.$%&$%&(j%&”$%(&(6$(Cfl&%&G8&399!KU3$(,ZN&G-X*3 2,*3M:I*32,M0j$S%S&SS60ZEKflj,!9$%&4%0Z-$MIp9!KU$%&,F*3,0j BBBBBBBBB Q)!-(1y Q
3、fl+X93$)!-(1y,9!KU,E0;FJE)!-(1y6jKfl,Kfl)4jF*3-$AKfl,KflQjjD E F$%&DE%&$%&EF$&$&%FD$%NOPfiflNNDEF5OPOP$%&9DEFDEFDEF u”31如图，在 ABC中，2 5,2 10,2 13ABBCAC，D，E，F 分别为三边中点，将,BDEADFCEF分别沿,DE EF DF 向上折起，使 A，B，C 重合为点 P，则三棱锥 PDEF的外接球表面积为（）A 72B 7 143C14D562在ABC 中，32cos4ABACA，将ABC 绕 BC 旋转至BCD 的位置，使得2AD，如图所示，则三棱锥
4、 DABC外接球的体积为_3已知三棱锥 PABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且3 2PA，5PBPC，则该三棱锥的外接球的表面积为_4已知四面体 ABCD 的棱长满足 ABACBDCD2，BCAD1，现将四面体 ABCD 放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体 ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为_5在三棱锥 PABC中，2 5PABC，13PBAC，5ABPC，则三棱锥 PABC的外接球的表面积是_模型三:汉堡模型4适用范围:有一条侧棱垂直于底面的柱体推导过程:如图,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).第一步:确定球心O
5、 的位置,1O 是 ABC 的外心,则1OO 平面 ABC.第二步:算出小圆1O 的半径111111,22AOr OOAAh AAh也是圆柱的高).第三步:勾股定理:222222221122hhOAO AO ORrRr,求出 R.公式:222hRr【典例剖析】1已知某圆柱的高为 4 2，体积为 4 2，则该圆柱外接球的表面积为（）A32B36C 40D 442已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为 3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为 162，则该球的表面积为（）A120B 129C129D1803已知三棱柱111ABCA B C的 6 个顶点都在球
6、O的表面上，12ABACAA，120BAC，则球O的表面积是（）A4B16 3C16D204直三棱柱111ABCA B C所有顶点都在球O的表面上，且6BAC，12 2AA，33ACAB，则球O5的表面积为_5在四面体 ABCD中，1ABCD，2BC，且 ABBC，CDBC，异面直线 AB，CD 所成角为 3，则该四面体外接球的表面积为_.模型四:垂面模型适用范围:有一条棱垂直于底面的椎体推导过程:第一步:将 ABC 画在小圆面上,A 为小圆直径的一个端点,作小圆的直径 AD,连接 PD,则 PD 必过球心O.第二步:1O 为 ABC 的外心,所以1OO 平面 ABC,算出小圆1O 的半径1O
7、 Dr(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理 sinaA112,sinsin2bcrOOPABC.第三步:利用勾股 定理求三棱 锥的 外接球半径:(1)222(2)(2)2RPArR22(2)PAr;(2)2222211RrOORrOO.公式:2224hRr【典例剖析】1已知三棱锥 PABC，其中 PA 平面 ABC，120BAC，2PAABAC，则该三棱锥外接球的表面积为（）A12B16C 20D 242已知四面体 ABCD的每个顶点都在球O的球面上，CD 平面 ABC，2 3AC，ABC是正三角形，ACD是等腰三角形，则球O的体积为（）A 20 53B8 66C 28 73D363已知四棱
8、锥 PABCD的五个顶点在球 O 的球面上，PA 底面 ABCD，4PA，ABAD，BCCD，120BAD，且四边形 ABCD的面积为 9 34，则球 O 的表面积为_.模型五:斗笠模型使用范围:正棱雉或顶点的投影在底面的外心上推导过程:取底面的外心10,连接顶点与外心,该线为空间几何体的高 h,在 h 上取一点作为球心 0,根据勾股定理22222(-)2rhRh RrRh公式:222rhRh【典例剖析】1.已知一个圆锥的母线长为2 6，侧面展开图是圆心角为 2 33 的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（）A36B 48C36D 24 22.在三棱锥 PABC中，侧棱10PAPBPC，4BAC，
9、2 2BC，则此三棱锥外接球的表面积7为_3.已知正四面体的棱长为 4，则此四面体的外接球的表面积是为_类型六:切瓜模型使用范围:有两个平面互相垂直的棱雉推导过程:分别在两个互相垂直的平面上取外心1O、2O 过两个外心做两个垂面的垂线,两条 垂线的交点即为球心 0,取 B C 的中点为 E,连接1OO、2OO、2O E、1O E 为矩形由勾股可得2222222222122221|4lOCO COOO CO CCERrr公式:2222124lRrr【典例剖析】1.已知四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为边长为 4 的正方形，侧面 PAB 底面 ABCD，且PAB为等边三角形，则该四棱锥 PAB
10、CD外接球的表面积为（）A1123B 643C64D162.已知四棱锥 PABCD的体积是36 3，底面 ABCD是正方形，PAB是等边三角形，平面 PAB 平面ABCD，则四棱锥 PABCD的外接球的体积为_.3.已知四面体 ABCD 中，ABD 和BDC 是等边三角形，二面角 ABDC 为直二面角.若 AB 4 3，则四面体 ABCD 外接球的表面积为 _.84.已知在三棱锥 ABCD中，平面 ABD 平面,BCDBCD和ABD均是边长为 2 3 的正三角形，则该三棱锥的外接球体积为_.模型七:折叠模型使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠.推导过程:两个全等的三角形或者
11、等腰拼在一起,或者菱形折叠,设折叠的二面角,A ECCEA Eh.如图,作左图的二面角剖面图如右图:1H 和2H 分别为,BCDA BD外心,111,()tan2sin2BDCHrEHhr OHhrBCD故222222211()tan 2ROCOHCHrhr.公式:2222()tan 2Rrhr【典例剖析】1.已知菱形 ABCD 中,60,3DABAB,对角线 AC 与 BD 的交点为O,把菱形 ABCD 沿对角线 BD折起,使得90AOC,则折得的几何体的外接球的表面积为()A.15B.152C.72D.72.在三棱雉 PABC中,2,2 3,1PAPBACBCABPC,则三棱雉 PABC的
12、外接球的表面积为()A.43B.4C.12D.52393.在边长为 2 3 的菱形 ABCD 中,60BAD,沿对角线 AC 折成二面角 BACD为120 的四面体ABCD,则此四面体的外接球表面积为_.模型八:最值模型最值问题的解法有两种方法:一种是几何法,即在运动变化过中得到最值,从而转化为定值问题求解.另一种是代数方法,即建立目标函数,从而求目标函数的最值.【典例剖析】1在边长为 6 的菱形 ABCD中，3A，现将ABD沿 BD 折起，当三棱锥 ABCD的体积最大时，三棱锥 ABCD的外接球的表面积为（）A60B30C 70D502在四棱锥 SABCD中，侧面 SAD 底面 ABCD，且
13、 SASD，90ASD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，设 P 为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥 PSAD的最大体积为（）A12B 22 23C 223D1233已知 P，A，B，C，D 都在同一个球面上，平面 PAB 平面 ABCD，ABCD是边长为 2 的正方形，60APB，当四棱锥 PABCD的体积最大时，该球的半径为_4 A，B，C，D 四点均在同一球面上，120BAC，BCD是边长为 2 的等边三角形，则 ABC面积的最大值为_，四面体 ABCD体积最大时球的表面积为_模型九:内切球模型以三棱雉 PABC为例,求其内切球OE 的半径推导过程:等体积法,三棱雉 PABC体
14、积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱雉的体积之和.10第一步:先求出四个表面的面积和整个雉体体积;第二步:设内切球的半径为 r,球心为O,建立等式:P ABCO ABCO PABO PACO PBCVVVVV1111133333P ABCABCPABPACPBCABCPABPACPBCVSrSrSrSrSSSSr 第三步:解出33VSP ABCO ABCO PABO PACO PBCVrSSSS表.公式:3VSr 表【典例剖析】1已知点 O 到直三棱柱111ABCA B C各面的距离都相等，球 O 是直三棱柱111ABCA B C的内切球，若球 O的表面积为16，ABC 的周长为 4，则三棱
15、锥1AABC的体积为（）A 43B163C 8 33D16 332在九章算术商功中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑 ABCD中，AB 平面 BCD，1ABBCCD，BCCD，则鳖臑 ABCD内切球的表面积为（）A3B(32 2)C12D(32 2)4九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，PAADAB，则四棱锥 PABCD和三棱锥 PADC的内切球半径比为_.11【过关检测】一、单选题1如图，在三棱锥 DABC中，90DACBCABC
16、D ，19DC，3AB ，且直线 AB 与 DC 所成角的余弦值为1919，则该三棱锥的外接球的体积为（）A 452B 754C1256D 6532在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥 PABCD为阳马，侧棱 PA 底面 ABCD，且2 2PA，2ABBC，则该阳马的外接球的表面积为（）A 4B8C16D 323设三棱柱111ABCA B C的侧棱垂直于底面，12,120,3 3ABACBACAA，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A 46B35C 43D39124如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面
17、体，那么该正八面体的内切球表面积为（）A 6BC 43D 45已知三棱锥 PABC中，1ACBC，ACBC，D 是 AB 的中点，PD 平面 ABC，点 P，A，B，C在球心为 O 的球面上，若三棱锥 PABC的体积是 16，则球 O 的半径为（）A 32B1C 12D 346已知三棱锥 SABC的棱 SA 底面 ABC，若2,3SAABACBC，则其外接球的表面积为（）A 4B 323C16D 327在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BA=BC，PBC=90，PA=2，若三棱锥 PABC 体积为 6，则三棱锥 PABC 外接球的表面积为（）A18B24C36D408已知三棱锥 SAB
18、C所有顶点都在球O的球面上，且 SA 平面 ABC，若1SAABACBC，则球O的表面积为（）A 52B 5C 53 D 739在三棱锥 PABC中，PA 平面 ABC，2AB，ABC与PAB的外接圆圆心分别为1O，2O，若三棱锥 PABC的外接球的表面积为16，设1O Aa，2O Ab，则 ab的最大值是（）13A 5B 10C 2 3D 2 510已知三棱锥 PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面 ABC满足3ABBC，3AC，若该三棱锥体积的最大值为 3 34，则其外接球的半径为（）A1B2C3D 23二、填空题11四面体 ABCD 中，AD 平面 ABC，1AB ，2AC，3AD，B
19、AC=90若 A，B，C，D 四点都在同一个球面上，则该球面面积等于_12如图，在三棱锥 PABC中，PA 平面 ABC，2ABC，3APAB，6BC，则三棱锥 PABC外接球的表面积为_.13在等腰直角三角形ABC中，2ABAC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，则过 A，B，C，D 四点的球的表面积为_.14空间四面体 ABCD中，2ABCD，3ADBC，10BD，直线 BD 和 AC 所成的角为 3，则该四面体的外接球的表面积为 _.15已知 A，B，C，D 四点在半径为292的球面上，且13ACBD，5ADBC，ABCD，则三棱锥 DABC的体积是_.1416已知
20、正三棱柱111ABCA B C的底面积为3 3，点 P 为111A B C的中心，直线 PA 和底面 ABC 所成角为 60，则正三棱柱111ABCA B C的外接球的表面积为_17已知三棱锥 ABCD中，AB 平面 BCD，1BCCD，2BD，3AB，则三棱锥 ABCD的外接球的表面积为_.18.在正四面体 SABC中，2 3SA，D，E，F 分别为 SA，SB，SC 的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF 所截的圆周长为_19.如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，PAD是边长为 4 的等边三角形，四边形 ABCD是等腰梯形，12ABADBC，则四棱锥 PABCD外
21、接球的表面积是_.20已知三棱锥 ABCD的所有顶点都在球O的球面上，ABACDBDC，24ADBC，则球O的表面积的最小值为_.15九种求外接球与内切球模型【必备知识】模型一:墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长.使用范围:3 组或 3 条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式2222(2)Rabc,即 2R222abc,求出R.【典例剖析】1四面体 ABCD的每个顶点都在球O的球面上，,AB AC
22、 AD 两两垂直，且3AB，2AC，3AD，则球O的表面积为（）A64B16C 4D【答案】B【详解】四面体 ABCD的外接球O即为以,AB AC AD 为长、宽、高的长方体的外接球，球O的外接球半径222122RABACAD，球O的表面积2416SR.故选：B.2在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为线段 AB，BC 的中点，连接 DE，DF，EF，将 ADE，CDF，BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使,A B C 三点重合，得到三棱锥 O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为（）16A3B6 C6D24【答案】C【详解】解：在正方形 ABCD 中，ADAE，CDCF，B
23、EBF，折起后 OD，OE，OF 两两垂直，故该三棱锥外接球即以 OD，OE，OF 为棱的长方体外接球.因为 OD=2，OE=1，OF=1，所以2222RODOEOF=6，所以62R，所以该三棱锥外接球的表面积为246SR表，故选：C.3已知 P，A，B，C 为球 O 的球面上的四个点，若 PA 平面 ABC，ACBC，1PA ，2ACBC，则球 O 的表面积为（）A2B3C 4D 5【答案】D【详解】解：在三棱锥 PABC中，PA 平面 ABC，ACBC，故可将三棱锥 PABC补形成如图所示的长方体.若 P，A，B，C 为球O的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上.设球O的半经
24、为 R，则该长方体的体对角线长为 2R，即22225RPAACBC，从而有224(2)5OSRR球，故选：D.4如图，在矩形 ABCD中，2,2ABBC，E 为 BC 中点，把ABE和CDE分别沿17,AE DE 折起，使点 B 与点 C 重合于点 P，若三棱锥 PADE的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（）A3B 4C5D 9【答案】C【详解】依题意，,PEPA PEPD，PAPDP，,PA PD 平面 PAD，则 PE 平面 PAD，又2,2PAPDAD，即有222PAPDAD，则 PAPD，因此可将三棱锥 PADE补形成以,PE PA PD 为相邻三条棱的长方体，若三棱
25、锥 PADE的四个顶点都在球O的球面上，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上，设球O的半径为 R，则该长方体的体对角线长为 2R，即22225RPEPAPD，所以球 O 的表面积为224(2)5SRR.故选：C5将一个边长为 4 的正三角形 ABC 沿其中线 BD 折成一个直二面角，则所得三棱锥 ABCD的外接球的体积为_.【答案】20 53【详解】由题意得：4ABBC，2ADCD，BDAD，CDBD，即 BD 平面 ADC；二面角 ABDC为直二面角，ADCD，则三棱锥 ABCD的外接球即为以,BD CD AD 为长宽高的长方体的外接球，又1642 3BD，18三棱锥 ABCD的外接球半径22
26、21144 12522RADCDBD，三棱锥 ABCD的外接球体积3420 533VR.故答案为：20 53.模型二:对棱相等模型使用范围:对棱相等的三棱锥推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为,a b c222222222222ADBCabBCABCDbcACACBDcaABk22222222228kkabcR11463A BCDVabcabcabc【典例剖析】1如图，在 ABC中，2 5,2 10,2 13ABBCAC，D，E，F 分别为三边中点，将,BDEADFCEF分别沿,DE EF DF 向上折起，使 A，B，C 重合为
27、点 P，则三棱锥 PDEF的外接球表面积为（）A 72B 7 143C14D56【答案】C【详解】由题意可知，10,13,5PEDFPFDEPDEF，即三棱锥 PDEF的对棱相等，先将该三棱锥补充成长方体，如图所示：19设,FHx HDy HPz，则22222210,5,13xyyzxz，所以22214xyz，于是三棱锥 PDEF的外接球直径为 14，半径为142，所以该三棱锥外接球的表面积为：2144142pp骣琪?琪桫.故选：C.2在ABC 中，32cos4ABACA，将ABC 绕 BC 旋转至BCD 的位置，使得2AD，如图所示，则三棱锥 DABC外接球的体积为_【答案】5 56【详解】
28、在ABC 中，由余弦定理得22232222224BC ，所以2BC 在三棱锥 DABC 中，22ABACDBDCADBC，将三棱锥 DABC 放入长方体，设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，棱锥 DABC 外接球的半径为 R，则2222224,4,2abbcac，所以2225abc，所以2221522Rabc，从而三棱锥 DABC 外接球的体积345 5.36VR故答案为：5 56 203已知三棱锥 PABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且3 2PA，5PBPC，则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】34【详解】解：根据题意，三棱锥 PABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长
29、方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，c，如图所示，则22218abPA，22225acPB，22225bcPC，解得3a，3b，4c 所以该三棱锥的外接球的半径为22222233434222abcR，所以该三棱锥的外接球的表面积为223444342SR故答案为：344已知四面体 ABCD 的棱长满足 ABACBDCD2，BCAD1，现将四面体 ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体 ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为_【答案】27 4【详解】根据题意，只需四面体 ABCD 在圆锥的内切球内，下面求四面体 ABCD 的外接球半径21如图所示
30、，将四面体放入长方体中，设长方体的长宽高分别为,a b c，则224ab，224ac，221bc，故2222942Rabc，可得四面体 ABCD 的外接球半径为 3 24当圆锥的侧面积最小时，该圆锥的内切球即四面体 ABCD 的外接球，则此时圆锥的内切球的半径为3 24R，底面圆的半径为3 23 6344r，母线长为 3 23 2242，所以侧面积为3 63 627424S.故答案为：274.5在三棱锥 PABC中，2 5PABC，13PBAC，5ABPC，则三棱锥 PABC的外接球的表面积是_【答案】29【详解】由题意，2 5PABC，13PBAC，5PCAB，将三棱锥 PABC放到长方体中
31、，可得长方体的三条面对角线分别为 2 5，13，5，设长方体的长宽高分别为 a,b,c,即222 5ab，2213cb，225ac，解得：4a，2b，3c 长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径 2R，222222(2)429429RabcRSR球 故答案为：2922模型三:汉堡模型适用范围:有一条侧棱垂直于底面的柱体推导过程:如图,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).第一步:确定球心O 的位置,1O 是 ABC 的外心,则1OO 平面 ABC.第二步:算出小圆1O 的半径111111,22AOr OOAAh AAh也是圆柱的高).第三步:勾
32、股定理:222222221122hhOAO AO ORrRr,求出 R.公式:222hRr【典例剖析】1已知某圆柱的高为4 2，体积为 4 2，则该圆柱外接球的表面积为（）A32B36C40D 44【答案】B【详解】设圆柱底面圆的半径为 r，则24 24 2r，解得1r 设该圆柱的两底面中心分别为1O、2O，则该圆柱外接球的球心O为线段12O O 的中点，球O的半径为224 2132R，故球O的表面积2436SR故选：B.232已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为 3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为 162，则该球的表面积为（）A120B 129
33、C129D180【答案】C【详解】由题意，设球的半径为 r，底面三角形边长为2x，因为侧棱长与底面边长之比为 3：2，所以侧棱长为3x，因为三棱柱的侧面积为 162，即满足 23 3218162xxx，解得3x，可知侧棱长为 9，底面边长为 6，如图所示，设 N，M 分别是上下底面的中心，MN 的中点 O 是三棱柱111ABCA B C外接球的球心，则362 33AM，1119222OMMNAA，222291292 322rOAOMAM，所以22129441292Sr.故选：C.3已知三棱柱111ABCA B C的 6 个顶点都在球O的表面上，12ABACAA，120BAC，则球O的表面积是（
34、）A4B16 3C16D20【答案】D【详解】由余弦定理得2222cosBCABACAB ACBAC221222 2 2122 ,2 3BC,24设 ABC 外接圆的圆心为1O,半径为1CO，由正弦定理得12sinBCCOBAC，即12 3232CO，解得12CO，设外接球的半径为 RCO,11112O OAA,222211215RCOCOOO,球O的表面积为2420SR,故选：D.4直三棱柱111ABCA B C所有顶点都在球O的表面上，且6BAC，12 2AA，33ACAB，则球O的表面积为_【答案】20【详解】解：直三棱柱111ABCA B C的 6 个顶点都在球O的表面上，且1,2 2
35、6BACAA，33ACAB，2232cos392 33362BCABACAB AC ，设 ABC为外接圆的圆心为 E，25322 3sin 6r，所以3r，设外接球的球心为O，设球的半径为 R，所以221152RrAA，故2 4(5)20S球故答案为：20 5在四面体 ABCD中，1ABCD，2BC，且 ABBC，CDBC，异面直线 AB，CD所成角为 3，则该四面体外接球的表面积为_.【答案】163 或8【详解】由题意可以将四面体 ABCD补成一个如图所示的直三棱柱，因为异面直线 AB，CD 所成角为 3，所以3ABE或 23，设ABE的外接圆半径为 r，当3ABE时，132,sin 603
36、r r，当23ABE时，3AE，则32,1sin120r r，设四面体的外接球半径为 R，则222()12BCRrr，所以该四面体外接球的半径2 33R 或2，则外接球的表面积为.21643R或8，故答案为：163 或8模型 4:垂面模型第三步：利用勾股定理求三棱锥外接球半径(1)(2)26适用范围:有一条棱垂直于底面的椎体推导过程:第一步:将 ABC 画在小圆面上,A 为小圆直径的一个端点,作小圆的直径 AD,连接 PD,则 PD 必过球心O.第二步:1O 为 ABC 的外心,所以1OO 平面 ABC,算出小圆1O 的半径1O Dr(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理 sinaA112,s
37、insin2bcrOOPABC.222(2)(2)2RPArR22(2)PAr2222211RrOORrOO.公式:2224hRr【典例剖析】1已知三棱锥 PABC，其中 PA 平面 ABC，120BAC，2PAABAC，则该三棱锥外接球的表面积为（）A12B16C 20D 24【答案】C【详解】根据题意设底面 ABC的外心为G，O 为球心，所以OG 平面 ABC，因为 PA 平面 ABC，所以/OGPA，设 D 是 PA 中点，因为OPOA，所以 DOPA，因为 PA 平面 ABC，AG 平面 ABC，所以 AGPA，因此/ODAG，因此四边形ODAG 是平行四边形，故112OGADPA，由
38、余弦定理，得2212cos120442 2 2()2 32BCABACAB AC ，由正弦定理，得2 32232AGAG，所以该外接球的半径 R 满足22225420ROGAGSR，故选：C272已知四面体 ABCD的每个顶点都在球O的球面上，CD 平面 ABC，2 3AC，ABC是正三角形，ACD是等腰三角形，则球O的体积为（）A 20 53B8 6C 28 73D36【答案】C【详解】CD 平面 ABC，AC 平面 ABC，CDAC，又ACD是等腰三角形，CDACABC是正三角形，2 3ABBCACCD设 E 为 ABC外接圆的圆心，则322 3223CE，132OECD，227OCOEC
39、E，球O的体积3428 7733V.故选：C.3已知四棱锥 PABCD的五个顶点在球 O 的球面上，PA 底面 ABCD，4PA，ABAD，BCCD，120BAD，且四边形 ABCD的面积为 9 34，则球 O 的表面积为_.【答案】25【详解】如图所示，在四边形中 ABCD，连结 BD，AC，由,ABAD BCCD，所以ABCADC，所以,ABCADCBACDAC ，因为,A B C D 在同一圆上，所以90ABCADC ，28又因为120BAD，所以60BCD，则60BACDAC，在 Rt ABC中，可得3BCAB，因为底面 ABCD的面积为 9 34，所以19 32324ABAB，解得3
40、2AB，则3 32BC，223 33322AC，所以 Rt ABC外接圆的半径32r，将四棱锥 PABCD补成直四棱柱 PEFGABCD，该直棱柱的所有顶点都在球 O 的球面上，设底面四边形 ABCD所在圆的圆心为1O，连接1OO，则1OO 平面 ABCD，过OMPA，垂足为 M,由球的对称性可知，球心 O 到底面 ABCD的距离为1122dOOAMPA，所以球 O 的半径 R 满足222254Rdr，所以球 O 的表面积2425OSR球.故答案为：25.模型五:斗笠模型29使用范围:正棱雉或顶点的投影在底面的外心上推导过程:取底面的外心10,连接顶点与外心,该线为空间几何体的高 h,在 h
41、上取一点作为球心 0,根据勾股定理22222(-)2rhRh RrRh公式:222rhRh【典例剖析】1.已知一个圆锥的母线长为2 6，侧面展开图是圆心角为 2 33 的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（）A36B 48C36D 24 2【答案】A【详解】设圆锥的底面半径为 r，由侧面展开图是圆心角为 2 33 的扇形得：2 32 632 r，解得：2 2r.作出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为 h，则2242 62 2h.设该圆锥的外接球的球心为 O，半径为 R,则有22RhRr，即2242 2RR，解得：R=3，30所以该圆锥的外接球的体积为3344 33633R.故选：A.2.在三棱锥
42、PABC中，侧棱10PAPBPC，4BAC，2 2BC，则此三棱锥外接球的表面积为_【答案】503【详解】因为10PAPBPC，所以点 P 在底面 ABC 的射影为 ABC的外心1O，所以球心O在直线1PO 上，设三棱锥外接球的半径为 R，因为12 22sin 4AO，所以12AO，16PO，由22211AOOOAO可得，2264RR，解得56R，故此三棱锥外接球的表面积为225504463R故答案为：503 3.已知正四面体的棱长为 4，则此四面体的外接球的表面积是为_【答案】24【详解】如图正四面体 ABCD棱长为 4，AH 平面 BCD于 H，则 H 是BCD中心，34 3433BH，A
43、H 平面 BCD，BH 平面 BCD，则 AHBH，224 34 6433AH，设外接球球心为O，则O在 AH，则 OAOBR为外接半径，31由222BHOHBO得2224 34 633RR，解得6R，2424SR故答案为：24.类型六:切瓜模型使用范围:有两个平面互相垂直的棱雉推导过程:分别在两个互相垂直的平面上取外心1O、2O 过两个外心做两个垂面的垂线,两条垂线的交点即为球心 0,取 B C 的中点为 E,连接1OO、2OO、2O E、1O E 为矩形由勾股可得2222222222122221|4lOCO COOO CO CCERrr公式:2222124lRrr【典例剖析】1.已知四棱锥
44、 PABCD中，底面 ABCD为边长为4 的正方形，侧面 PAB 底面 ABCD，且PAB为等边三角形，则该四棱锥 PABCD外接球的表面积为（）A1123B 643C64D16【答案】A【详解】如图所示，在四棱锥 PABCD中，取侧面PAB和底面正方形 ABCD的外接圆的圆心分别32为12,O O，分别过1O，2O 作两个平面的垂线交于点 O，则由外接球的性质知，点 O 即为该球的球心，取线段 AB 的中点 E，连1O E，2O E，2O D，OD，则四边形12O EO O 为矩形，在等边PAB中，可得2 3PE，则12 33O E，即22 33OO，在正方形 ABCD中，因为4AB，可得2
45、2 2O D，在直角2OO D中，可得22222ODOOO D，即22222283ROOO D，所以四棱锥 PABCD外接球的表面积为211243SR.故选：A.2.已知四棱锥 PABCD的体积是36 3，底面 ABCD是正方形，PAB是等边三角形，平面 PAB 平面 ABCD，则四棱锥 PABCD的外接球的体积为_.【答案】28 21【详解】设正方形 ABCD的边长为 2x，在等边三角形 PAB 中，过 P 点作 PEAB于 E，由于平面 PAB 平面 ABCD，PE 平面 ABCD由于PAB是等边三角形，则3PEx，332112336 333P ABCDABCDVSPExx，解得3x 设四
46、棱锥外接球的半径为 R，1O 为正方形 ABCD 中心，2O 为等边三角形 PAB 中心，O 为四棱锥 PABCD 外接球球心，则易知21OO EO 为矩形，则21132OOEOADx，222 3 32 333POPE，22229 1221ROPOOPO，外接球体积34(21)28 213V故答案为：28 21 3.已知四面体 ABCD 中，ABD 和BDC 是等边三角形，二面角 ABDC 为直二面角.若 AB 4 3，则四面体 ABCD 外接球的表面积为 _.【答案】80【详解】如图所示：设1O 为BCD的中心，O 为四面体 ABCD的外接球的球心，则1OO 平面 BDC 设 M 为线段 B
47、D 的中点，外接球的半径为 R，连接,AM CM OA，过 O 作OGAM于点 G，易知 G 为ABD的中心，则11OOOGMOMG，因为34 362MA，故162,43MGOGGA，在 RtAGO中，222GAGOOA，故22224R，则2 5R 34所以外接球的表面积为2480SR，故答案为：80.4.已知在三棱锥 ABCD中，平面 ABD 平面,BCDBCD和ABD均是边长为 2 3 的正三角形，则该三棱锥的外接球体积为_.【答案】20 5 3【详解】依题意，平面 ABD 平面,BCDBCD和ABD均是边长为 2 3 的正三角形，设G 是 BD 的中点，则,AGBD CGBD，由于平面
48、ABD 平面 BCD且交线为 BD，所以 AG 平面 BCD，CG 平面 ABD.设,E F 分别是等边三角形 ABD和等边三角形 BCD的中心，则22223233AECFGEGFCG,设O是三棱锥 ABCD外接球的球心，则OE 平面 ABD，OF 平面 BCD.所以外接球的半径2222125ROFCF，所以外接球的体积为3420 5533.故选：20 5 3模型七:折叠模型35使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠.推导过程:两个全等的三角形或者等腰拼在一起,或者菱形折叠,设折叠的二面角,A ECCEA Eh.如图,作左图的二面角剖面图如右图:1H 和2H 分别为,BCDA
49、 BD外心,111,()tan2sin2BDCHrEHhr OHhrBCD故222222211()tan 2ROCOHCHrhr.公式:2222()tan 2Rrhr【典例剖析】1.已知菱形 ABCD 中,60,3DABAB,对角线 AC 与 BD 的交点为O,把菱形ABCD 沿对角线 BD 折起,使得90AOC,则折得的几何体的外接球的表面积为()A.15B.152C.72D.7【答案】A【解析】菱形 ABCD 中,60,3DABAB,三角形 ABD 的外接圆的半径为 r 332sin 60,高3 32h,对角线 AC 与 BD 的交点为O,使得90AOC,则折得的几何体的外接球的半径为:2
50、223 315(3)3tan 4522R,外接球的表面积为 S 2154152,故选 A.2.在三棱雉 PABC中,2,2 3,1PAPBACBCABPC,则三棱雉PABC的外接球的表面积为()A.43B.4C.12D.523【答案】D36【解析】取 AB 中点 D,因为2PAPBACBC,所以1PDCD,又,PDAB CDAB,则面 PDC 面 ABC,设 ABC的外心为1O,外接圆半径为 r,三棱锥 PABC的外接球的球心为O,则1OO 面,120ABCACB,由 r 2,12sin120ABh,设60PDC(二面角平面角),外接球的半径为22222213,()tan(2)(1 2)tan
51、 3023R Rrhr,所以三棱雉 PABC的外接球的表面积为25243R,故选 D.3.在边长为 2 3 的菱形 ABCD 中,60BAD,沿对角线 AC 折成二面角 BACD为120的四面体 ABCD,则此四面体的外接球表面积为_.【答案】84【解析】如图所示,典型的全等等腰三角形共底边:23,2 3,EDhO DrBED120,可根据几何性质知道222222260,tan603,O EOOOEOROODO22(3)(2 3)21,或者可以通过公式222()tan 2Rrhr2222(2 3)(32 3)tan 6021,484SR.模型八:最值模型最值问题的解法有两种方法:一种是几何法,
52、即在运动变化过中得到最值,从而转化为定值问题求解.另一种是代数方法,即建立目标函数,从而求目标函数的最值.【典例剖析】371在边长为 6 的菱形 ABCD中，3A，现将ABD沿 BD 折起，当三棱锥 ABCD的体积最大时，三棱锥 ABCD的外接球的表面积为（）A60B30C70D50【答案】A【分析】当三棱锥 ABCD的体积最大值时，平面 ABD 平面 BCD，即可求出外接圆的半径，从而求出面积.【详解】当三棱锥 ABCD的体积最大值时，平面 ABD 平面 BCD，如图，取 BD 的中点为 H，连接,AH CH，则 AHBD.设12,O O 分别为ABD，BCD外接圆的圆心，O为三棱锥 ABC
53、D的外接球的球心，则1O 在 AH 上，2O 在 CH 上，且11222 33AOO HAH,且21,O HBD OO平面 ABD，2OO 平面 BCD.平面 ABD 平面 BCD，平面 ABD 平面=BCD BD，AH 平面 ABDAH 平面 ABD，2/AHO O，同理1/CHO O四边形12OOO H 为平行四边形AH 平面 BCD，2O H 平面 BCD2AHO H，即四边形12OOO H 为矩形.213OOO H22362 332CO 外接球半径22223 1215ROOCO外接球的表面积为2460R38故选：A.2在四棱锥 SABCD中，侧面 SAD 底面 ABCD，且 SASD，
54、90ASD，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，设 P 为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥 PSAD的最大体积为（）A12B 22 23C 223D123【答案】D【详解】连接,AC BD 交于点O，取 AD 中点为 M，连接,SM OS，作图如下：因为,90ASDSASD，又 M 为 AD 的中点，故 M 为 Rt SAD的外心，又平面 SAD 平面 ABCD，且面 SAD面 ABCDAD，又,OMAD OM 面 ABCD，故可得OM 面 SAD，故OAOSOD；又四边形 ABCD为正方形，且O为对角线交点，故可得OAOBOCOD，综上所述，OAOBOCODOS，故O为四棱锥 SABC
55、D的外接球的球心.则其外接球半径122RODBD.又 P 为该四棱锥外接球表面上的动点，若使得三棱锥 PSAD的体积最大，则此时点 P 到平面 SAD 的距离12hOMR，故其体积的最大值11112332SADVShADSM11122 112323 .故选：D.3已知 P，A，B，C，D 都在同一个球面上，平面 PAB 平面 ABCD，ABCD是边长为2 的正方形，60APB，当四棱锥 PABCD的体积最大时，该球的半径为_【答案】213【分析】先求出四棱锥 PABCD的体积最大时，PAB为等边三角形，再找出外接球的球心，通过39勾股定理即可求得半径.【详解】如图，过点 P 作 PQAB于Q，
56、平面 PAB 平面 ABCD，平面 PAB 平面 ABCDAB，PQ 平面 ABCD，13P ABCDABCDVPQ S，故四棱锥 PABCD的体积最大，即 PQ 最大，2AB，PQ 最大，即PAB面积最大，由60APB,13sin24PABSPA PBAPBPA PB，得2241cos22APBPAPBAP BP，2242APBPAP BPAP BP，得4AP BP，当且仅当2APBP时取等号，此时PAB面积最大，PAB为等边三角形.取PAB的外心为1O，正方形 ABCD的外心为2O，过12,O O 分别作所在平面的垂线，交点为O，O即为四棱锥 PABCD外接球的球心，四边形21OO QO
57、为矩形，121OOO Q，122 333POPQ，设外接球半径为 R，则222 321133R.故答案为：213.4A，B，C，D 四点均在同一球面上，120BAC，BCD是边长为 2 的等边三角形，则 ABC面积的最大值为_，四面体 ABCD体积最大时球的表面积为_【答案】33203【分析】由于13sin24ABCSAB ACBACAB AC，求 ABC面积的最大值即是求 AB AC的最大值，利用余弦定理结合重要不等式即可求解当面 ABC 面 BCD时四面体的体积最大，确定出球心后计算出球的半径即可求解【详解】因为120BAC40所以13sin24ABCSAB ACBACAB AC又2222
58、cos120BCABACAB AC即22423ABACAB ACAB ACAB ACAB AC所以43AB AC所以33434433ABCSAB AC即 ABC面积的最大值为33过 A 作 AHBC，垂足为 H,12ABCSAH BCAH则 ABC面积的最大时，AH 最大，AH 的最大值为33，此时 ABC为等腰三角形，H 为 BC 中点132 2322BCDS ，1333A BCDBCDVShh则当 AH 平面 BCD时,h 最大，此时面 ABC 面 BCD如图,设O为四面体 ABCD 外接球的球心,1O，2O 分别为 ABC，BCD的外接圆的圆心.1OO 平面 ABC，2OO 平面 BCD
59、,在 ABC中224 332sin33BCO AO ABAC 12232 323323DODH12233OOHOOAAH四面体 ABCD外接球的半径212153ROOO D41外接球的表面积为22043R模型九:内切球模型以三棱雉 PABC为例,求其内切球OE 的半径推导过程:等体积法,三棱雉 PABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱雉的体积之和.第一步:先求出四个表面的面积和整个雉体体积;第二步:设内切球的半径为 r,球心为O,建立等式:P ABCO ABCO PABO PACO PBCVVVVV1111133333P ABCABCPABPACPBCABCPABPACPBCVSrSr
60、SrSrSSSSr 第三步:解出33VSP ABCO ABCO PABO PACO PBCVrSSSS表.公式:3VSr 表【典例剖析】1已知点 O 到直三棱柱111ABCA B C各面的距离都相等，球 O 是直三棱柱111ABCA B C的内切球，若球 O 的表面积为16，ABC 的周长为 4，则三棱锥1AABC的体积为（）A 43B163C 8 33D16 33【答案】B【详解】解：设直三棱柱111ABCA B C的高为 h，ABc，BCa，ACb，内切球 O 的半径为 r，则h2r，由题意可知球 O 的表面积为2164 r，解得 r2，h4，又ABC 的周长为 4，即 abc4，连接 O
61、A，OB，OC，111,OA OB OC 可将直三棱柱111ABCA B C分成 5 个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，由体积相等可得直三棱柱111ABCA B C的体积为ABCSh 13 ahr 13 bhr 13 chr2 13ABCSr，42即 4ABCS 13（abc）hr 43ABCS，ABCS4，三棱锥1AABC的体积为 13ABCSh 13 44163 故选：B2在九章算术商功中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑 ABCD中，AB 平面 BCD，1ABBCCD，BCCD，则鳖臑
62、 ABCD内切球的表面积为（）A3B(32 2)C12D(32 2)【答案】B【详解】解：因为四面体 ABCD四个面都为直角三角形，AB 平面 BCD，BCCD，所以 ABBD，ABBC，BCCD，ACCD，设四面体 ABCD内切球的球心为O，则13ABCDO ABCO ABDO ACDO BCDABCABDACDBCDVVVVVrSSSS内，所以3ABCDVrS内，因为四面体 ABCD的表面积为12ABCDABCABDACDBCDSSSSS，又因为四面体 ABCD的体积16ABCDV，43所以3212VrS内，所以24(32 2)Sr球，故选：B4九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂
63、直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，PAADAB，则四棱锥 PABCD和三棱锥 PADC的内切球半径比为_.【答案】2【详解】因为 PA 面 ABCD，又四边形 ABCD为正方形，故2P ABCDP ADCVV，又四棱锥 PABCD的四个侧面均为直角三角形，设 PAm，212PABPADSSm，222PBCPDCSSm，故四棱锥 PABCD的表面积2122Sm；又三棱锥 PADC为鳖臑，其所有面均为直角三角形，又212PADADCSSm，222PDCPACSSm，故三棱锥 PADC的表面积22
64、21Sm设四棱锥 PABCD的内切球半径为 1r，故1113P ABCDSrV，则 113P ABCDVrS，同理可得 223P ADCVrS，故1122123321223322P ABCDP ABCDP ADCP ADCVVrSSVrSVS.故答案为：2.【过关检测】二、单选题441如图，在三棱锥 DABC中，90DACBCABCD ，19DC，3AB ，且直线 AB 与 DC 所成角的余弦值为1919，则该三棱锥的外接球的体积为（）A 452B 754C1256D 653【答案】C【详解】解：由题意知 ACBC，DCBC，则 BC 平面 ADC，所以 BCAD，又 ADAC，ACBCC，所
65、以 AD 平面 ABC，将三棱锥 DABC放入对应的长方体中，如图：易知 EBDC，所以ABE为直线 AB 与 DC 所成的角，所以2222cosAEABBEAB BEABE，解得22AE.设长方体的长宽高分别为 a，b，c，则229ab，2222ac，2219bc，三式相加得22225abc，所以长方体的外接球的半径为222522abc，所以该三棱锥的外接球的体积为345125326V.故选：C.2在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥 PABCD为阳马，侧棱 PA 底面 ABCD，且2 2PA，2ABBC，则该阳马的外接球的表面积为（）45A 4B
66、8C16D 32【答案】C【详解】解：因为四棱锥 PABCD为阳马，侧棱 PA 底面 ABCD，如图，补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为 R，则2222244816RABBCPA，所以2R，所以该阳马的外接球的表面积为2416R.故选：C.3设三棱柱111ABCA B C的侧棱垂直于底面，12,120,3 3ABACBACAA，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A 46B35C43D39【答案】C【详解】由题意知底面 ABC外接圆的圆心为点O，设外接圆的半径为 r，三棱柱111ABCA B C的外接球的半径为 R，2ABAC
67、，120BAC，由余弦定理得222cos2 3BCABACABACBAC，由正弦定理得2 342sin32BCrBAC，所以2r，过O做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O为外接球的球心，46由题意得：222127434244AARr，所以外接球的表面积2443SR，故选：C4如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（）A 6BC 43D 4【答案】B【详解】根据图形，在正方体中易知正八面体的棱长为22336222,如图，47在正八面体中连接 AF，DB，CE，可得 AF，DB，CE 互相垂直平分，在 RtAOD中，222262622
68、 232AOADOD则该正八面体的体积21326323226V，该八面体的表面积23683 342S设正八面体的内切球半径为 r，13 S rV，即 133 332r，解得12r，24球Sr故选：B5已知三棱锥 PABC中，1ACBC，ACBC，D 是 AB 的中点，PD 平面 ABC，点P，A，B，C 在球心为 O 的球面上，若三棱锥 PABC的体积是 16，则球 O 的半径为（）A 32B1C 12D 34【答案】D【详解】三棱锥 PABC的体积11111 13326ABCVSADPD ,则1PD ACBC，则 ABC的外接圆的圆心为 AB 的中点 D,222ABACBC又 PD 平面 A
69、BC，所以三棱锥 PABC的外接球的球心O在直线 AD 上如图，三棱锥 PABC的外接球的半径为 r，连接OB,则1ODr,1222BDAB在直角三角形OBD中，222OBBDOD，即22112rr，解得34r 故选：D486已知三棱锥 SABC的棱 SA 底面 ABC，若2,3SAABACBC，则其外接球的表面积为（）A 4B 323C16D 32【答案】C【详解】设外接球的半径为 R，底面外接圆半径为 r，因为2,3SAABACBC，所以22233332r，又因为 SA 底面 ABC，2SA，所以此三棱锥的外接球为以 ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，由勾股定理得，22222213
70、42SArRR，所以外接球的表面积为2416SR.故选：C【点睛】有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球可转化为对应底面的直三棱柱的外接球进行求解.7在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BA=BC，PBC=90，PA=2，若三棱锥 PABC体积为 6，则三棱锥 PABC 外接球的表面积为（）A18B24C36D40【答案】D【详解】取 PC 的中点 O,由 PA 平面 ABC，BC 在平面 ABC 内,得 PABC,又PBC=90，BCPB,PAPBP,所以 BC 平面 PAB，从而 BCAB,所以 AC 是 ABC的外接圆的直径，在 RtPAC中，有 OA=OP=OC,49在 RtPBC
71、中，有 OP=OC=OB,故 OA=OP=OC=OB,故 O 是三棱锥 P-ABC 的外接球的球心，由三棱锥 P-ABC 的体积为 6 可得：21111263323ABCSPAABBCAB,故218AB,所以236AC,所以222=4+3640PCPAAC,故外接球半径1=102RPC,故三棱锥 PABC 外接球的表面积为2440R,故选：D.8已知三棱锥 SABC所有顶点都在球O的球面上，且 SA 平面 ABC，若1SAABACBC，则球O的表面积为（）A 52B 5C 53 D 73【答案】D【详解】如图所示，设O 为 ABC的外接圆的圆心，取SA的中点 E，分别连接OO和OE，则OO 平
72、面 ABC，OE SA，因为 SA 平面 ABC，若1SAABACBC，可得 ABC的外接圆的半径33rO A，且12O OAE，在直角O OA中，可得22222317()()3212OAOOO A，即三棱锥 SABC外接球的半径为2712R，所以球O的表面积为2743SR.故选：D.9在三棱锥 PABC中，PA 平面 ABC，2AB，ABC与PAB的外接圆圆心分别为1O，502O，若三棱锥 PABC的外接球的表面积为16，设1O Aa，2O Ab，则 ab的最大值是（）A 5B 10C2 3D 2 5【答案】B【详解】PA 平面 ABC，PAAB，则PAB为直角三角形，其外心2O 为 PB
73、的中点，ABC的外心1O，222PBO Ab，又2AB，224421PAbb，设三棱锥 PABC的外接球的为O，连接1OO，则1OO 平面 ABC，11OOO A，22221112OAO APAab，又三棱锥 PABC的外接球的表面积为16，224116ab，即225ab，由222,abab可得 2222222abababab，22210abab，当且仅当 ab时取等号.ab的最大值是 10.故选：B.10已知三棱锥 PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面 ABC满足3ABBC，3AC，若该三棱锥体积的最大值为 3 34，则其外接球的半径为（）A1B2C3D 23【答案】B51【详解】设三棱
74、锥 PABC外接球球心为O，在三角形 ABC 中，由余弦定理得9333cos22 33ACB ，由于0,ACB，所以6ACB，设三角形 ABC 外接圆半径为 r，外心为1O.由正弦定理得322 3,31sin2ABrrACB.设三棱锥体积最大时，P 到平面 ABC 的距离为 h，则 113 333sin33264hh.设外接球的半径为 R，则222hRrR，即222332RRR.故选：B二、填空题11四面体 ABCD 中，AD 平面 ABC，1AB ，2AC，3AD，BAC=90若 A，B，C，D 四点都在同一个球面上，则该球面面积等于_【答案】14【详解】在四面体 ABCD 中，因为 AD
75、平面 ABC，BAC=90所以 AB，AC，AD 两两互相垂直，可将四面体 ABCD 补形到长方体中，如图所示，52因为1AB ，2AC，3AD，所以长方体外接球半径22214914222ABACADR，所以球的变面积21444144SR,故答案为：14.12如图，在三棱锥 PABC中，PA 平面 ABC，2ABC，3APAB，6BC，则三棱锥 PABC外接球的表面积为_.【答案】54【详解】法 1：因为 PA 平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 PABC，PAAC，PAAB，又2ABC，所以 BCAB，因为 PAABA，,PA AB 平面 PAB，所以 BC 平面 PAB，又 PB 平面
76、 PAB，所以 BCPB，如图所示：53取 PC 的中点 O，连接 OA，OB，则12OAOBOCOPPC，故 O 为三棱锥 PABC外接球的球心.而22222222336543 6PCPBBCPAABBC，故三棱锥 PABC的外接球O的半径为 3 62，所以球O的表面积为23 64542.法 2：根据题意三棱锥 PABC可以扩展为如图的长方体.则 PC 为长方体的对角线，也是三棱锥 PABC外接球的直径.因为3APAB，6BC，所以2223 6PCPAABBC，故三棱锥 PABC的外接球O的半径为 3 62，所以球O的表面积为23 64542.故答案为：5413在等腰直角三角形 ABC 中，
77、2ABAC，D 为 BC 的中点，以 AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC，则过 A，B，C，D 四点的球的表面积为_.54【答案】3【详解】在等腰直角三角形 ABC 中，D 为 BC 的中点，以 AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC，构成以 D 为顶点的三棱锥，DA，DB，DC 三条棱互相垂直，且1DADBDC，可将其放在正方体中，正方体的对角线即为球的直径，所以22221113R，所以球的表面积为23432S.故答案为：3 14空间四面体 ABCD中，2ABCD，3ADBC，10BD，直线 BD 和 AC 所成的角为 3，则该四面体的外接球的表面积为 _.【答案】232【详解】如图所示
78、，因为2ABCD，3ADBC，10BD，先将四面体 ABCD的六条棱看成该长方体如图所示的六条面对角线，下面验证直线 BD 和 AC 所成的角为 3，易知/MNBD，MNBD，且 MN，AC 互相平分于O点，所以102OAOM，55设长方体的三边长为a，b，c，则2222221049abbcac，解得30106,222abc，故 OAM是等边三角形，则3AOM，即直线 BD 和 AC 所成的角为 3，即 BDAC成立，故四面体 ABCD的六条棱看成该长方体如图所示的六条面对角线，四面体的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球的直径2222322Rabc，故外接球的表面积为22342SR.故答案
79、为：232.15已知 A，B，C，D 四点在半径为292的球面上，且13ACBD，5ADBC，ABCD，则三棱锥 DABC的体积是_.【答案】8【详解】由题意构造长方体如图示，其面上的对角线构成三棱锥 D-ABC.设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则有：2222222291325abcabac，解得：324abc ，所以三棱锥 DABC的体积是：112 3 442 3 4832 .故答案为：8.16已知正三棱柱111ABCA B C的底面积为3 3，点 P 为111A B C的中心，直线 PA 和底面 ABC所成角为 60，则正三棱柱111ABCA B C的外接球的表面积为_【答案】28
80、56【详解】如图所示：设正三棱柱111ABCA B C的上下底面的中心为 P，Q，则其外接球的球心为 O 为 PQ 的中点，因为正三棱柱111ABCA B C的底面积为3 3，所以1sin603 32ABCSABAC,解得2 3ABAC，则322 3223AQ，因为直线 PA 和底面 ABC 所成角为 60，所以tan 602 3PQAQ，则3OQ，所以其外接球的半径为227RAOAQOQ，所以外接球的表面积为2428SR.故答案为：2817已知三棱锥 ABCD中，AB 平面 BCD，1BCCD，2BD，3AB，则三棱锥 ABCD的外接球的表面积为_.【答案】5【详解】因为1BCCD，2BD，
81、所以222BCCDBD，故 BCCD，又因为 AB 平面 BCD，因此三棱锥 ABCD的外接球即为三棱柱 AEFBCD的外接球，如图：57取 BD 的中点1O，则1O 为BCD外接圆的圆心，取 AF 的中点2O，则2O 为 AEF外接圆的圆心，则12O O 的中点O即为外接球的球心，因此11322O OAB，11222O DBD,因此22235222OD，所以三棱锥 ABCD的外接球的表面积为25452，故答案为：5.18.在正四面体 SABC中，2 3SA，D，E，F 分别为 SA，SB，SC 的中点，则该正四面体的外接球被平面 DEF 所截的圆周长为_【答案】4【详解】如图所示，过点S作
82、SP 平面 ABC，垂足为 P，点 P 必为 ABC的中点，则正四面体 SABC外接球的球心必在线段 SP 上，设点O为正四面体 SABC 外接球的球心，外接球半径为 R，在等边 ABC中，因为2 3ABACBC，可得322 3223AP，在直角SAP，由2 3,2SAAP，可得222 322 2SP，在直角OAP中，可得222OAAPOP，即22222 2RR，解得3 22R，又由,D E F 分别为,SA SB SC 的中点，所以O到平面 DEF 的距离3 22222d，设截面圆的半径为 r，则222Rdr，解得2r，所以截面圆的周长为 24r故答案为：45819.如图，在四棱锥 PABC
83、D中，平面 PAD 平面 ABCD，PAD是边长为 4 的等边三角形，四边形 ABCD是等腰梯形，12ABADBC，则四棱锥 PABCD外接球的表面积是_.【答案】2083【详解】如图，取 AD 的中点 E，BC 的中点 F，连 EF，PE，在 PE 上取点G，使得2PGGE，由PAD是边长为 4 的等边三角形，四边形 ABCD是等腰梯形，12ABADBC，可得，4ABAFBFCFFD，即梯形 ABCD的外接圆圆心为 F，分别过点G、F 作平面 PAD、平面 ABCD的垂线，两垂线相交于点O，显然点O为四棱锥PABCD外接球的球心，由题可得2 3PE，2 33GEOF，59则四棱锥 PABCD
84、外接球的半径22222 352433ROB，故四棱锥 PABCD外接球的表面积为2522084433R故答案为：2083.20已知三棱锥 ABCD的所有顶点都在球O的球面上，ABACDBDC，24ADBC，则球O的表面积的最小值为_.【答案】16【分析】取,BC AD 中点,E F，利用三角形全等可证得 EF 为 AD 和 BC 的垂直平分线，由此可知球心O在直线 EF 上，利用OAODADOBOCBC可求得min2R，由球的表面积公式可求得结果.【详解】取,BC AD 中点,E F，连接,AE DE BF CF，ABDB，ACDC，BCBC，ABCDBC，AEDE，EF是 AD 的垂直平分线；同理可得：EF 是 BC 的垂直平分线；球心O在直线 EF 上，设其半径为 R，则OAODADOBOCBC，即2224RR，解得：2R；当且仅当O为 AD 中点时，2R，此时球O表面积取得最小值，最小值为24216.故答案为：16.
