1、第九讲三角恒等变换、解三角形及其应用真题试做1(2013高考课标全国卷)已知sin 2，则cos2()()A.B.C. D.2(2013高考福建卷)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_3(2013高考江西卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求的值考情分析三角共有三部分内容，这里是两个内容，即“两角和与差的三角函数”与“解三角形”广东连续四年高考命题(指的是10、11、12、13)都是建立在三角函数式的基础上，考查求某点
2、处的函数值、两角和与差的三角公式的应用这些题从背景到形式，从条件到结论，无不具有很多相似之处解三角形呢？被遗忘了预测在2014年的高考试卷中，考查三角的题为“一小一大”，小题考查三角的基本公式的简单应用解答题可能出现的题型有三种：其一，与解三角形结合，主要考查正、余弦定理的简单应用及三角形中的三角函数问题(与两角和与差的三角函数有关)；其二，与三角函数的图像与性质结合，主要考查图像作图、变换与性质；其三，与三角公式结合，主要考查三角公式变换的技能与技巧；试题难度仍为中低档题由于近年未考解三角形问题，所以对解三角形问题要特别关注考点一三角恒等变换及其求值三角恒等变换及其求值，高考中常以下列形式呈
3、现：(1)三角恒等变换在化简、求值等方面的简单应用；(2)三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题，多以解答题形式出现，难度中档(2013高考广东卷)已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f.【思路点拨】(1)把x代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值和诱导公式求f.(2)由cos 求出sin ，利用两角和的余弦公式和二倍角公式求f.(1)化简常用方法：直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；切化弦、异名化同名、异角化同角等(2)化简常用技巧：注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；注意利用角与角之间的隐含关系，如2()()，()等；注意利用“1”的
4、恒等变形，如tan 451，sin2cos21等强化训练1已知，cos 2，sin().(1)求cos 的值；(2)求sin 的值考点二正、余弦定理正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容主要考查：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)有关的范围问题(2013高考浙江卷)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c, 且2asin Bb.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面积【思路点拨】(1)利用已知条件和正弦定理可求出sin A，进而求出A；(2)利用余弦定理求出bc，再用面积公式求面积解三角形的一般方法是：(1)已知两角和一
5、边，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.强化训练2(2013石家庄市高三模拟考试)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，(cb)cos Aacos B.(1)求角A的大小；(2)若a，ABC的面积为1，求b，c.考点三正、余弦定理在实际问题中的应用由于正、余
6、弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(2013高考江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1
7、)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【思路点拨】(1)由cos A，cos C的值可求得sin B的值，然后在ABC中利用正弦定理可求得AB的长度；(2)利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离；(3)利用正弦定理求出BC的长，再根据题意列不等式求解应用解三角形知识解决实际问题的步骤：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知
8、条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案强化训练3某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH(声音的传播速度为340米/秒)运算求解能力三角恒等变换求值运算求解能力是思想能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对
9、式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等，运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力(2013汕头调研)已知向量(cos ，sin )(，0)，向量m(2，1)，n(0，)，且m(n)(1)求向量；(2)若cos()，0，求cos(2)【解】(1)(cos ，sin )，n(cos ，sin )m(n)，m(n)0，即2cos (sin )0.又sin2cos21，由联立解得cos ，sin ，.(2)cos()，cos .又0，sin .又sin 22sin cos 2，cos 2
10、2cos2121，cos(2)cos 2cos sin 2sin .由m(n)0得2cos (sin )0，完成了由向量运算到三角函数式的运算分析运算条件，确定合理的运算方向，解决了三角函数式的运算，求解中应注意三角函数的符号对于这种形式的数字运算，要做到准、简、快 跟踪训练已知函数f(x)2sin xcos xcos 2x(xR)(1)当x取什么值时，函数f(x)取得最大值，并求其最大值；(2)若为锐角，且f()，求tan 的值_体验真题把脉考向_1【解析】选A.sin 2，cos2().2【解析】sinBACsin(90BAD)cosBAD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcos
11、BAD，BD21892333，BD.【答案】3【解】(1)证明：由已知得sin Asin Bsin Bsin C2sin2B.因为sin B0，所以sin Asin C2sin B.由正弦定理得ac2b，即a，b，c成等差数列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以._典例展示解密高考_【例1】【解】(1)因为f(x)cos，所以fcoscoscos 1.(2)因为，cos ，所以sin ，cos 22cos2121，sin 22sin cos 2.所以fcoscoscos 2sin 2.强化训练1【解】(1)因为，cos 0.又cos 22cos21
12、，所以cos .(2)根据(1)，得sin .而，且sin()，cos().故sin sin()sin()cos cos()sin .【例2】【解】(1)由2asin Bb及正弦定理，得sin A.因为A是锐角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式Sbcsin A，得ABC的面积为.强化训练2【解】(1)由(cb)cos Aacos B及正弦定理得，(sin Csin B)cos Asin Acos B，则sin Ccos Asin Bcos Asin Acos Bsin(BA)ABC，sin(AB)sin C，sin
13、Ccos Asin C.sin C0，cos A，又0A，A.(2)ABC的面积Sbcsin A1，A，bc2.根据余弦定理a2b2c22bccos A和a，可得c2b26.由得，或.【例3】【解】(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)221
14、30t(10050t)200(37t270t50)由于0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内强化训练3【解】由题意，设|AC|x，则|BC|x340x40.在ABC中，由余弦定理得：|BC|2|BA|2|AC|22|BA|AC|cosBAC，即(x40)210 000x2100x，解得x420.在RtACH中，|AC|420，CAH30，所以|CH|AC|tanCAH140 .即该仪器的垂直弹射高度CH为140 米_名师讲坛精彩推荐_跟踪训练【解】(1)f(x)2sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2x(sin 2xcos 2x)sin(2x)当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数f(x)取得最大值，其值为.(2)f()，sin(2)，cos 2.为锐角，即0，02，sin 2，tan 22，2，tan2tan 0，(tan 1)(tan )0，tan 或tan (不合题意，舍去)，tan .
